Problemas com equação do 2º grau

1 - Quando eu nasci, meu pai tinha 32 anos. Hoje, o produto das nossas idades é 900. A soma das nossas idades atuais é igual a:

a) 72

b) 68

c) 64

d) 83

Resolução:

Nossas idades quando eu nasci:
Eu: 0
Meu pai: 32
Nossas idades atuais:
Eu: x
Meu pai: x + 32
Equação:     x ⋅ (x + 32) = 900

Então, nossas idades atuais são:

Eu: x = 18 anos

Meu pai: x + 32 = 18 + 32 = 50 anos

Soma das idades: 18 anos  + 50 anos = 68 anos

Resposta: A soma das nossas idades é de 68 anos.: 18 anos  + 50 anos = 68 anos

2 - Daqui a 24 anos minha idade será o quadrado da idade que eu tinha a 18 anos atrás. Qual é minha idade hoje?

a) 22 anos

b) 23 anos

c) 24 anos

d) 25 anos

Resolução:

Minha idade hoje: x

Minha daqui a 24 anos: x + 24

O quadrado da idade que eu tinha a 18 anos atrás:  (x – 18)²

Equação:

x + 24 = (x – 18)²

x + 24 = (x – 18)(x – 18)

x + 24 = x ⋅ x – x ⋅ 18 – 18 ⋅ x + 18 ⋅ 18

x + 24 = x² – 18x – 18x + 324

x + 24 = x² – 36x + 324

0 = x² – 36x – x + 324 – 24

Resposta: A  minha idade hoje é 25 anos.

3 - O triplo de um número positivo somado com seu quadrado é igual a 180. Qual é esse número?

a) 15          b) 14          c) 13          d) 12

Resolução:

3x + x² = 180

x² + 3x ー180 = 0

Resposta: a 

4 - A hipotenusa de um triângulo retângulo, representado abaixo, mede 10 m. A área desse triângulo é 24 m². Quais as medidas dos catetos desse triângulo?

Resolução:

Pelo teorema de Pitágoras temos:

a² = b² + c²

 10² = x² + y²

10 ⋅ 10 = x² + y²

x² + y² = 100

A área do triângulo é dada por:

 Agora vamos resolver o sistema de equações:

Isolando y em (1):

Substituindo (3) em (2):

x² + y² = 100

Fazendo:

Multiplicando toda equação por t:

Como:

e

Então, as medidas de um dos lados medem x = 6 m ou x = 8 m (As medidas dos lados não podem ser negativas).

Cálculo das medidas de y:

Para x = 6

Para x = 8

Resposta: As medidas dos catetos são: 6 m e 8 m.