Exercícios com equação exponencial

1 - (G1 - CFTMG) A solução da equação exponencial abaixo é:

a) – 2             b) 0            c) – 1          d) 2

Resolução:

2 - Resolva a equação exponencial:

Resolução:

Fatorando os números 4 e 64:

3 - Resolva a equação:

Resolução:

4 - Qual é a solução da equação exponencial 

 ?

Resolução:

Fazendo:

Como:

Para y =  — 2

Não convém

Resposta: a solução é x = 1

5 - Qual é o valor de x na equação exponencial abaixo?

Resolução:

6 - Resolva as equações exponenciais abaixo:

Resolução:

7 - Resolva a equação exponencial:

Resolução:

8 - Qual é a solução da equação abaixo?

a) 3

b) 9

c) 27

d) 81

Resolução:

9 - Qual é a solução da equação exponencial

a) x = 0 ou x = 1

b) x = 1 ou x = − 1

c) x = 0 ou x = 3

d) x = 3 ou x = 4

Resolução:

Transformando:

Fazendo:

Como

Para y = 8

Para y = 1

Solução: x = 0 ou x = 3.

10 – Qual é o valor de “n” na expressão abaixo?

     

         

      Resolução:

Reordenando os números no numerador:

11 - Resolva a equação exponencial:

Resolução:

Logo:

Área do círculo

Para calcular a área de um círculo de raio r, podemos usar a fórmula: 

A = π ⋅ r²

                              

Onde π (pi) é uma constante de valor aproximado 3,14.

👉Lembrando que a medida do diâmetro é o dobro do raio: d = 2 ⋅ r

Diferença entre o círculo e circunferência: o círculo é a área cuja fronteira é uma circunferência.

       

Exemplos:

1 - Uma círculo tem 50 cm de raio. Qual a medida da área desse círculo? 

Resolução:

A = ?

r = 50 cm
π = 3,14
A = π⋅r²

A = 3,14 ⋅ 50²

A = 3,14 ⋅ 50 ⋅ 50

A = 3,14 ⋅ 2 500

A = 7 850 cm²

2 - A medida oficial do diâmetro de uma cesta de basquete é 39 cm. Qual a área aproximadamente dessa cesta?

Resolução:

A =?
d  = 39 cm

d = 2 ⋅ r
r = 19,5 cm
π = 3,14

A = π⋅r²

A = 3,14 ⋅ (19,5 cm)²

A = 3,14 ⋅ 19,5 cm ⋅ 19,5 cm

A = 3,14 ⋅ 380,25 cm²

A = 1 193,985 cm²

A ≃ 1 194 cm²

3 - Qual é a metade da área do círculo cujo diâmetro mede 40 metros? (π = 3,14).

Resolução:

d  = 40 m
d = 2 ⋅ r
r = 20 m
π = 3,14

A = π⋅r²

A = 3,14 ⋅ (20 m)²

A = 3,14 ⋅ 20 m ⋅ 20 m

A = 3,14 ⋅ 400 m²

A = 1 256 m²

4 - Planeja-se construir uma piscina circular com uma ilha no meio, também circular. Sabendo que o raio da ilha possui 4 metros e que o raio da piscina possui 7 metros, qual será a área da superfície da piscina? Use π = 3,14.

Resolução:

Área do círculo maior:

A = ?

r = 7 m
A = π⋅r²

A = 3,14 ⋅ (7 m)²

A = 3,14 ⋅ 7 m ⋅ 7 m

A = 3,14 ⋅ 49 m²

A = 248,06 m²

Área do círculo menor:

A = ?

r = 4 m
A = π⋅r²

A = 3,14 ⋅ (4 m)²

A = 3,14 ⋅ 4 m ⋅ 4 m

A = 3,14 ⋅ 16 m²

A = 50,24 m²

A área da piscina será:

248,06 m² - 50,24 m² = 197,82 m² 

Comprimento da circunferência

A razão entre a medida do comprimento(C) de uma circunferência e a medida do seu diâmetro(d) obtemos uma constante: o número pi; representado pela letra grega .

Lembrando que a medida do diâmetro é o dobro do raio: d = 2 ⋅ r

  ou

  C = 2⋅π⋅r

Podemos usar essa fórmula para calcular o comprimento de uma circunferência, que simplifica o cálculo, tornando rápido e menos trabalhoso:

  C = 2⋅π⋅r

O valor de pertence aos números irracionais. Para a maioria dos cálculos simples é comum aproximar por 3,14. Uma boa parte das calculadoras científicas de 8 dígitos aproxima por 3,1415926. Para cálculos mais precisos pode-se utilizar com 52 casas decimais. Para cálculos ainda mais precisos pode-se obter aproximações de através de algoritmos computacionais.

Um engenheiro japonês e um estudante americano de ciências da computação calcularam, usando um computador com doze núcleos físicos, cinco trilhões de dígitos, o equivalente a 6 terabytes de dados.

A aproximação do número pi até a tricentésima casa decimal:

= 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 5923078164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196 44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165 27120 19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273

1 - Use para π o valor 3,14 e determine o comprimento de uma circunferência quando a medida do raio é:

a) 9 cm          b) 16 cm          c) 0,25 m

Resolução:

a) C = ?

r = 9 cm

π = 3,14

C = 2⋅π⋅r

C = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 9 cm

C = 6,28 ⋅ 9 cm

C = 56,52 cm

b) C = ?

r = 16 cm

π = 3,14

C = 2⋅π⋅r

C = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 16 cm

C = 6,28 ⋅ 16 cm

C = 100,48 cm

c) C = ?

r = 0,25 m

π = 3,14

C = 2⋅π⋅r

C = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 0,25 m

C = 6,28 ⋅ 0,25 m

C = 1,57 m

2 - Uma circunferência tem 50 cm de raio. Qual a medida do comprimento dessa circunferência? 

Resolução:

C = ?

r = 50 cm
π = 3,14
C = 2⋅π⋅r
C = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 50 cm
C = 6,28 ⋅ 50 cm
C = 314 cm

ou

C = 3,14 m

3 - Sabe-se que o comprimento de uma circunferência é 50,24 cm. Nessas condições, determine a medida do raio e do diâmetro dessa circunferência.

Resolução:

r = ?

d = ?

C = 50,24 cm

π = 3,14

C = 2⋅π⋅r

50,24 = 2 ⋅ 3,14 ⋅ r

50,24 = 6,28 ⋅ r

r = 8 cm

d = 2 ⋅ r

d = 2 ⋅ 8 cm

d = 16 cm

Resposta: A medida do raio é 8 cm e do diâmetro é 16 cm.

4 - A roda de um automóvel tem 0,6 m de diâmetro. Nessas condições,
responda:

a) Qual será, aproximadamente, o comprimento da circunferência da roda?

b) Se essa roda der 5 000 voltas completas, de quantas metros será a distância percorrida pelo automóvel?

Resolução:

a) C = ?

d  = 0,6 m
d = 2 ⋅ r
r = 0,3 m
π = 3,14
C = 2⋅π⋅r
C = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 0,3 m
C = 6,28 ⋅ 0,3 m
C = 1,884 m

C ≃ 1,88 m

b) 5 000 ⋅ 1,88 m = 9 420 m 

5 - A medida oficial do diâmetro de uma cesta de basquete é 39 cm. Qual o comprimento do anel dessa cesta?

Resolução:

C = ?

d  = 39 cm
d = 2 ⋅ r
r = 19,5 cm
π = 3,14
C = 2⋅π⋅r
C = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 19,5 cm
C = 6,28 ⋅ 19,5 cm
C = 122,46 cm

6 - Medindo uma circunferência com uma fita métrica graduada obtemos 94,2 cm. Qual é a medida do diâmetro dessa circunferência?

Resolução:

d = ?

C = 94,2 cm

π = 3,14
C = 2⋅π⋅r
94,2 = 2 ⋅ 3,14 ⋅ r
94,2 = 6,28 ⋅ r

r = 15 cm
d = 2 ⋅ r

d = 2 ⋅ 15 cm
d = 30 cm

7 - Um quebra-luz circular de 12 cm de diâmetro necessita de uma fita que envolva a sua base. Que comprimento de fita será necessário?

Resolução:

C = ?

d  = 12 cm
d = 2 ⋅ r
r = 6 cm
π = 3,14
C = 2⋅π⋅r
C = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 6 cm
C = 6,28 ⋅ 6 cm
C = 37,68 cm

C ≃ 38 cm

Ângulos correspondentes

Ângulos correspondentes são formados quando duas retas são cortadas por uma transversal. Eles são encontrados na mesma posição relativa em cada interseção. Para entender melhor, imagine duas retas paralelas "r" e "s" sendo cortadas por uma terceira reta "t". Os ângulos correspondentes são os que ocupam posições correspondentes nas interseções formadas por essa reta transversal.

Por exemplo: os ângulos "a" e ''b'' são ângulos correspondentes e são congruentes (mesma medida).

No diagrama acima, os ângulos "a" (na reta paralela de cima) e "b" (na reta paralela de baixo) são correspondentes. Eles ficam no mesmo lado da reta transversal e nas mesmas posições relativas.

   Exemplos

  1 – As retas "p" e "q", são paralelas. Determine as medidas dos ângulos indicados na       figura:

 

Resolução:

3x + 20° = 2x + 50°

3x –  2x = 50° –  20°

x = 30°

3x + 20° = 3⋅30° + 20° = 90° + 20° = 110°

2x + 50° = 2⋅30° + 50° = 60° + 50° = 110°

Resposta: Os ângulos assinalados medem 110° e 110°.

 2 – Na figura, a reta t é transversal e as retas "p" e "q" são paralelas. Calcule as medidas dos ângulos assinalados.

Resolução:

4x + 30° = 3x + 40°

4x – 3x + 30° = 40°

4x – 3x = 40° – 30°

x = 10°

4x + 30° = 4⋅10° + 30° = 40° + 30° = 70°

3x + 40° = 3⋅10° + 40° = 30° + 40° = 70°

Resposta: Os ângulos assinalados medem 70° e 70°.

3 – Sabendo que r e s são retas paralelas, calcule os valores de x e y:

Resolução:

4x + 10° = 3x + 19°

4x – 3x = 19°– 10°

x = 9°

Os ângulos de medidas y e 3x + 19° são suplementares (soma 180°):

y + 3x +19° = 180°

y + 3 ⋅ 9°+ 19° = 180°

y + 27°+ 19° = 180°

y + 46° = 180°

y = 180°– 46°

y =134°