Estudo do sinal de uma função quadrática

O estudo do sinal de uma função quadrática permite identificar em quais intervalos do domínio a função assume valores positivos, negativos ou nulos. Isso é fundamental para resolver inequações, analisar o comportamento de gráficos e tomar decisões em problemas práticos.

A função quadrática tem a forma:

f(x) = ax² + bx + c

O que significa “sinal”:

• Positivo: Quando f(x) > 0, o gráfico está acima do eixo x.
• Negativo: Quando f(x) < 0, o gráfico está abaixo do eixo x.
• Zero: Quando f(x) = 0, os pontos de interseção com o eixo x, chamados de raízes.

Como estudar o sinal:

1. Encontrar as raízes da equação f(x) = 0

Resolva a equação quadrática usando fórmula de Bhaskara ou fatoração:

Onde:

ou

2. Analisar o coeficiente "a":

Se a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima:

Se a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo:

3. Dividir a reta real em intervalos entre as raízes

Exemplo: se as raízes forem x₁ e x₂, examine os sinais em:

• x < x₁
• x₁ < x < x₂
• x > x₂

Dica Visual:

O gráfico da função quadrática é uma parábola. O sinal da função pode ser visualizado observando em quais regiões a parábola está acima ou abaixo do eixo x.

1º caso: △ > 0

Neste caso:

A função admite dois zeros reais diferentes, x₁ e x₂;

A parábola que representa a função intersecta o eixo x em dois pontos.

f(x) = 0 para x = x₁  ou  x = x₂

f(x) > 0 para x < x₁  ou  x > x₂

f(x) < 0 para x₁ < x < x₂

f(x) = 0 para x = x₁  ou  x = x₂

f(x) > 0 para x₁ < x < x₂

f(x) < 0 para x < x₁  ou  x > x₂

 

2º caso: △ = 0

Neste caso:

A função admite dois zeros reais e iguais, x₁ = x₂;

A parábola que representa a função intersecta o eixo x em apenas um ponto.

f(x) = 0 para x = x₁ = x₂

f(x) > 0 para x ≠ x₁ = x₂                 

f(x) = 0 para x = x₁ = x₂

f(x) < 0 para x ≠ x₁ = x₂  

3º caso: △ < 0

Neste caso:

A função não admite zeros reais;

A parábola que representa a função não intersecta o eixo x.

f(x) > 0, ∀ x ∈ ℝ

f(x) < 0, ∀ x ∈ ℝ

Exemplos

1 – Estudar o sinal da função f(x) = x² – 4.

Resolução:

Para encontrar as raízes de f(x), vamos usar fatoração:

f(x) = 0   ⇒    x² – 4 = 0

x² – 2² = 0     ⇒     (x + 2)⋅(x – 2) = 0

x + 2 = 0  ⇒    x = – 2

ou

x – 2 = 0   ⇒  x = 2

Raízes: x = – 2 e x = 2

• A parábola tem concavidade voltada para cima: a > 0
• Sinal:

• f(x) > 0 quando x < – 2 ou x > 2
• f(x) < 0 quando – 2 < x < 2
• f(x) = 0 quando x = – 2 ou x = 2

2 – Estudar o sinal da função f(x) = x² – 5x + 6.

Resolução:

Fazendo f(x) = 0: 

x² – 5x + 6 = 0

a = 1,  b = – 5   e   c = 6

Raízes:

Concavidade:

a = 1 > 0, que é maior que zero, então a concavidade é voltada para cima.

Sinal:

Entre as raízes (2 e 3), a função é negativa (f(x) < 0). 
Antes da raiz 2 e depois da raiz 3, a função é positiva (f(x) > 0).
Nos pontos x = 2 e x = 3, a função é nula (f(x) = 0). 

Exercícios

1 - Estude o sinal da função f(x) = x² – 2x + 1.

Resolução:

Fazendo f(x) = 0: 

x² – 2x + 1 = 0 

a = 1, b = – 2 e c = 1

Raízes:

A parábola tem concavidade voltada para cima: a = 1 > 0

Sinais:

f(x) = 0 para x = 1

f(x) > 0 para x ≠ 1  

2 - Faça o estudo do sinal da função f(x) = 6x² – 5x + 1.

Resolução:

Fazendo f(x) = 0: 

x² – 2x + 1 = 0

a = 6,  b = – 5  e  c = 1

A parábola tem concavidade voltada para cima: a = 6 > 0

Sinais:

f(x) > 0 quando:

           

f(x) < 0 quando:

          

f(x) = 0 quando: 

         

3 - Estude o sinal da função f(x) = – x² – 2x + 3.

Resolução:

Fazendo f(x) = 0: 

– x² – 2x + 3 = 0

a = – 1,  b = – 2   e   c = 3

A parábola tem concavidade voltada para baixo: a = – 1 <  0

Sinais:

f(x) > 0 quando – 3 < x < 1
f(x) < 0 quando x < – 3 ou x > 1
f(x) = 0 quando x = – 3 ou x = 1

4 - Dada a função f(x) = x² + 4x + 4, faça o estudo de seu sinal.

Resolução:

Fazendo f(x) = 0: 

x² + 4x + 4 = 0

a = 1,   b = 4   e   c = 4

Raízes:

A parábola tem concavidade voltada para cima: a = 1 > 0 

Sinais:

f(x) = 0 para x = – 2

f(x) > 0 para x ≠ – 2  

5 – Fazer o estudo do sinal da função f(x) = x(1 – x) – 1.

Resolução:

f(x) = x(1 – x) – 1

f(x) = x – x² – 1

f(x) = – x² + x – 1

Fazendo f(x) = 0:

– x² + x – 1 = 0

a = – 1, b = 1 e c = – 1

△ < 0

A parábola tem concavidade voltada para baixo: a = – 1 < 0

Sinais: f(x) < 0, ∀ x ∈ ℝ

6 - Determine os valores de c para os quais temos 𝑥² + 4𝑥 + 𝑐 > 0, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Resolução:

Condição: △ < 0

a = 1, b = 4 e c = ?

Multiplicado por ( – 1):

– 4c < –16   ⋅ ( – 1)

4c  > 16