MMC e MDC

O MDC (Máximo divisor comum)  corresponde ao maior número inteiro capaz de dividir dois ou mais números naturais simultaneamente. O MMC (Mínimo múltiplo comum) é um tipo de operação matemática utilizada para encontrar o menor número positivo, diferente de 0 (zero), que é múltiplo ao mesmo tempo de dois ou mais números. 

Antes de estudarmos os conceitos, vale a pena definir o que são os múltiplos de um número, e também o que são os divisores de um número. Os múltiplos de um número são todos aqueles resultantes de uma multiplicação do valor inicial por qualquer outro valor. Por exemplo, vamos obter alguns múltiplos do número 2:

Os múltiplos de 2 são: 

2X0 = 0 

2X1 = 2 

2X2 = 4 

2X3 = 6 

2X4 = 8

2X5 = 10

2X6 = 12
.
.
.

M (2) ={0; 2; 4; 6; 18; 10; 12; …}

Os números múltiplos de dois são infinitos. Já os divisores podemos dizer que são mais restritos. Um número é considerado divisor do outro quando a divisão entre eles resulta em um valor exato, ou seja, com resto igual a zero. 

Por exemplo vamos calcular os divisores do número 24:

24:1 = 24;  24:2 = 12;  24:3 =8; 24:4 =6, 24:6 = 4; 24:8 = 3; 24:12 = 2; 24:24 = 1

Assim os divisores e 24 são: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.

Escrevemos: D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24}

Agora vamos ao mínimo múltiplo comum. O mínimo múltiplo comum pode ser entendido como o menor valor positivo não nulo que seja múltiplo de dois ou mais números não nulos. Para obter este valor podemos utilizar o método da decomposição simultânea, que consiste em reduzir os números até todos obterem o valor unitário. Com este método, o MMC será a multiplicação dos valores utilizados para reduzir os termos iniciais. 

Vamos realizar a decomposição dos números 6, 12 e 24 e encontrar os fatores que os dividem simultaneamente:

Após todos os números estarem reduzidos, deveremos multiplicar os valores utilizados na divisão simultânea, que no nosso exemplo são os números registrados em negrito. Então:

MMC (6,12,24) =2×2×2×3=24

Já o MMC pode ser explicado como o maior número que pode dividir todos os termos simultaneamente. Para calcular o MDC podemos utilizar o mesmo método de decomposição simultânea utilizada no MMC, mas devemos considerar somente os valores que dividirem TODOS os termos ao mesmo tempo. Utilizando o mesmo exemplo anterior, temos que:

Note que os valores que dividem os três números (6, 12 e 24) ao mesmo tempo são os registrados em vermelho, sendo o número 2 uma vez, e também o número 3. Deste modo, o MDC será igual ao produto destes termos, logo:

MDC (6,12,24) =2×3=6

Perceba que para o mesmo conjunto de números calculamos valores diferentes para o seu MMC e MDC, portanto é importante entender a sua diferença de modo a evitar confusões, visto que o seu cálculo é muito similar. 

Exercícios resolvidos

1 – Qual é  o mínimo múltiplo comum entre os números 4 e 5?

Resolução:

 Resposta: m.m.c.(4, 5) = 20 

2 – Determine o m.m.c. de 6,12 e 24.

Resolução:

Decompondo simultaneamente esses números, vamos encontrar:

Resposta: m.m.c. (6,12,24) = 24 

3 – Encontre o m.m.c. de 6,12,24,48. 

Resolução: 

Decompondo simultaneamente esses números, vamos encontrar:

Resposta: m.m.c. (6,12,24,48) = 48