MMC e MDC

O MDC (Máximo divisor comum)  corresponde ao maior número inteiro capaz de dividir dois ou mais números naturais simultaneamente. O MMC (Mínimo múltiplo comum) é um tipo de operação matemática utilizada para encontrar o menor número positivo, diferente de 0 (zero), que é múltiplo ao mesmo tempo de dois ou mais números. 

Antes de estudarmos os conceitos, vale a pena definir o que são os múltiplos de um número, e também o que são os divisores de um número. Os múltiplos de um número são todos aqueles resultantes de uma multiplicação do valor inicial por qualquer outro valor. Por exemplo, vamos obter alguns múltiplos do número 2:

Os múltiplos de 2 são: 

2X0 = 0 

2X1 = 2 

2X2 = 4 

2X3 = 6 

2X4 = 8

2X5 = 10

2X6 = 12
.
.
.

M (2) ={0; 2; 4; 6; 18; 10; 12; …}

Os números múltiplos de dois são infinitos. Já os divisores podemos dizer que são mais restritos. Um número é considerado divisor do outro quando a divisão entre eles resulta em um valor exato, ou seja, com resto igual a zero. 

Por exemplo vamos calcular os divisores do número 24:

24:1 = 24;  24:2 = 12;  24:3 =8; 24:4 =6, 24:6 = 4; 24:8 = 3; 24:12 = 2; 24:24 = 1

Assim os divisores e 24 são: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.

Escrevemos: D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24}

Agora vamos ao mínimo múltiplo comum. O mínimo múltiplo comum pode ser entendido como o menor valor positivo não nulo que seja múltiplo de dois ou mais números não nulos. Para obter este valor podemos utilizar o método da decomposição simultânea, que consiste em reduzir os números até todos obterem o valor unitário. Com este método, o MMC será a multiplicação dos valores utilizados para reduzir os termos iniciais. 

Vamos realizar a decomposição dos números 6, 12 e 24 e encontrar os fatores que os dividem simultaneamente:

Após todos os números estarem reduzidos, deveremos multiplicar os valores utilizados na divisão simultânea, que no nosso exemplo são os números registrados em negrito. Então:

MMC (6,12,24) =2×2×2×3=24

Já o MMC pode ser explicado como o maior número que pode dividir todos os termos simultaneamente. Para calcular o MDC podemos utilizar o mesmo método de decomposição simultânea utilizada no MMC, mas devemos considerar somente os valores que dividirem TODOS os termos ao mesmo tempo. Utilizando o mesmo exemplo anterior, temos que:

Note que os valores que dividem os três números (6, 12 e 24) ao mesmo tempo são os registrados em vermelho, sendo o número 2 uma vez, e também o número 3. Deste modo, o MDC será igual ao produto destes termos, logo:

MDC (6,12,24) =2×3=6

Perceba que para o mesmo conjunto de números calculamos valores diferentes para o seu MMC e MDC, portanto é importante entender a sua diferença de modo a evitar confusões, visto que o seu cálculo é muito similar. 

Exercícios resolvidos

1 – Qual é  o mínimo múltiplo comum entre os números 4 e 5?

Resolução:

 Resposta: m.m.c.(4, 5) = 20 

2 – Determine o m.m.c. de 6,12 e 24.

Resolução:

Decompondo simultaneamente esses números, vamos encontrar:

Resposta: m.m.c. (6,12,24) = 24 

3 – Encontre o m.m.c. de 6,12,24,48. 

Resolução: 

Decompondo simultaneamente esses números, vamos encontrar:

Resposta: m.m.c. (6,12,24,48) = 48

Cientistas detectam colisão entre duas estrelas de Nêutrons

Estrela nêutrons é o núcleo que entrou em colapso de uma grande estrela que, antes do colapso, teria tido um total de entre 10 e 29 massas solares. As estrelas de nêutrons são as menores e mais densas estrelas que se

tem conhecimento.

Pela primeira vez cientistas na história, cientistas conseguiram observar a colisão entre duas estrelas de nêutrons, por meio de ondas gravitacionais e luminosas.

Esse evento cósmico foi observado por cientistas realizado por meio de telescópios ópticos tradicionais, com detectores gêmeos localizados na Louisiana e em Washington, que recuperam os tremores no espaço-tempo ocorridos após a fusão a 1,3 milhões de anos-luz de distância ou seja, observamos algo que ocorreu há mais de 130 milhões de anos. 

https://www.youtube.com/watch?v=P_1JUpjfLg0

(Vídeo: “Cientistas conseguem pela primeira vez, ver e ouvir a colisão de duas estrelas.”, do canal: sutc1012, disponível no link: https://www.youtube.com/watch?v=P_1JUpjfLg0)

Desenhos em mesa de sala de aula feita por alunos

Os alunos costumam fazer desenhos maravilhosos nas mesas das salas de aula. Quando eu era pequeno, fazia meus desenhos em um caderno de desenho, onde mostrava com muita alegria para as pessoas que visitavam minha casa. Tirei algumas fotos desses desenhos feitas pelos alunos da Escola Municipal Madre Francisca nesse ano.

                                           

Exercícios com critérios de divisibilidade

Os critérios de divisibilidade nos ajudam a determinar se certo número natural é divisível ou não por outro número natural. Ser divisível significa que quando dividimos esses números, o resultado será um número natural e o resto será igual a zero. Em muitos casos, é possível verificar se um número é ou não divisível por outro sem precisar efetuar a divisão entre eles. Isso pode ser feito através de regras específicas chamadas de critérios de divisibilidade.

Regras de divisibilidade:

Divisibilidade por 1

Todos os números são divisíveis por 1.

Divisibilidade por 2

Um número é divisível por 2 se for um número par. Assim todos os números terminados em 0, 2, 4, 6 e 8 são divisíveis por 2.

Veja os exemplos:

84 : 2 = 42

300 : 2 = 150

96 : 2 = 48

112 : 2 = 56

718 : 2 = 359

Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos resultar em um número divisível por 3. 

Veja os exemplos:

• 447 é divisível por 3, já que 4 + 4 + 7 = 15 que é divisível por 3.
• 5 103 é divisível por 3 já que 5 + 1 + 0 + 3 = 9 que é divisível por 3.

Divisibilidade por 4

Um número é divisível por 4 quando o número formado por seus dois últimos algarismos (dezena e unidade) formarem um número divisível por 4 ou quando o número termina com os algarismos 00. Portanto:

• 500 é divisível por 4, pois termina em 00.
• 7916 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4.

Divisibilidade por 5

Um número é divisível por 5 quando seu algarismo da unidade é 0 ou 5.

Portanto:

• 150 é divisível por 5, pois termina em 0.
• 1695 é divisível por 5,  pois termina em 5.
• 900 é divisível por 5, pois termina em 0.
• 9165 é divisível por 5, pois termina em 5.

Divisibilidade por 6

Um número é divisível por 6 quando o mesmo for divisível por 2 e 3 simultaneamente. 

O número 528 é divisível por 6?

O número 528 é por. (Divisível por 2)

O número 528 é divisível por 3, uma vez que 5 + 2 + 8 = 15, que é divisível de 3.

Logo, o número 528 é divisível por 6.

Divisibilidade por 7

Um número é dito divisível por 7 quando o dobro de seu algarismo da unidade, subtraído do restante do numero resulta em um numero divisível por 7. 

• 385 é divisível por 7, uma vez que 38 – 2 X 5 = 38 – 10 =  28, que é divisível por 7.

• 553 é divisível por 7, já que 55 – 2 X 3 = 55 – 6 = 49, que é divisível por 7.

O número 165 928 é divisível por 7?

16 592 – 2 X 8 = 16 592 – 16 =16 576

1 657 – 2 X 6 = 1 657 – 12 = 1 64 5

164 – 2 X 5 = 164 – 10 = 154

15 – 2 X 4 = 15 – 8 = 7

Divisibilidade por 8

Um número é divisível por 8 quando terminar em 000 ou quando os três últimos algarismos (unidade, dezena e centena) forem divisíveis por 4.

• 2 400 é divisível por 4, já que 400 é divisível por 4.
• 16 000 é divisível por 4, pois termina em 000.

Divisibilidade por 9

O número será divisível por 9 quando a soma de seus algarismos resultar em um múltiplo de 9. Esta regra é similar a de divisibilidade por 3. Exemplo:
765 é divisível por 9, uma vez que 7 + 6 + 5 = 18, que é divisível de 9.

Divisibilidade por 10

Um número é divisível por 10 quando terminar em 0.

• O número 220 é divisível por 10, termina em 0.

• O número 1 540 é divisível por 10, termina em 0.

• O número 2 700 é divisível por 10, termina em 0.

Exercícios

1 - Entre os números abaixo, qual é o único divisível por 2?

a) 95

b) 93

c) 94

d) 91

 

2 - Dos números abaixo, qual é divisível por 3?

a) 73

b) 74

c) 71

d) 72

 

3 - Dentre os números apresentados abaixo, o único que é divisível por 10:

a) 121

b) 120

c) 122

d) 123

4 - Dentre os números apresentados abaixo, o único que não é divisível por 7 é:

a) 267

b) 546

c) 133

d) 875

 

5 - Analise as seguintes afirmações:

I - O número 3 744 é divisível por 3 e por 4.
II - O resultado da multiplicação de 762 por 5 é um número divisível por 10.
III - Todo número par é divisível por 6.

Assinale a alternativa correta

a) Apenas as alternativas I e II são verdadeiras.

b) Apenas a afirmação I é verdadeira

c) As alternativas I e III são falsas.

d) Todas as afirmações são falsas.

e) Todas as afirmações são verdadeiras.

Respostas:

1) Um número é divisível por 2 se for um número par.

94 é par.

Letra  (C)

2) Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos resultar em um número divisível por 3. 

7 + 3 = 10

7 + 4 = 11

7 + 1 = 8

7 + 2 = 9  (9 que é divisível por 3.)

Letra  (D)

3) Um número é divisível por 10 quando terminar em 0.

O número 120 é divisível por 10, termina em 0.

Letra  (B)

4) Um número é dito divisível por 7 quando o dobro de seu algarismo da unidade, subtraído do restante do numero resulta em um numero divisível por 7. 

O número 267 não é divisível por 7, uma vez que 26 – 2 X 7 = 26 – 14 =  12, que não é divisível por 7.

Letra  (A)

5) I - O número 3 744 é divisível por 3 e por 4.

O número 3 744 é divisível por 3, já que 3 + 7 + 4 + 4 = 18 que é divisível por 3. (Verdade)

O número 3 744 é divisível por 4, pois 44 é divisível por 4. (Verdade)

II - O resultado da multiplicação de 762 por 5 é um número divisível por 10.

Multiplicando de 762 por 5 ➝762 X 5 = 3 810 e o número 3 810 é divisível por 10, termina em 0. (Verdade)

III - Todo número par é divisível por 6.

Um número é divisível por 6 quando o mesmo for divisível por 2 e 3 simultaneamente. (Falso)

Logo, apenas as alternativas I e II são verdadeiras.

Letra  (A)

Possíveis temas da prova de redação do Enem 2017

1. Conflitos Internacionais

A prova de redação do Enem não tem histórico de abordar em seus temas assuntos ou acontecimentos relacionados a cenários internacionais sem estabelecer relações com o contexto social brasileiro. A imigração de haitianos e latinos em geral já foi pano de fundo de um tema de prova de produção de texto do exame, mas o recorte temático da coletânea de textos motivadores abarcava o Brasil. Portanto, nossa sugestão é estudar, pesquisar e analisar como conflitos internacionais afetam o nosso país e como nós, como nação, estamos nos posicionando. Deste modo, pesquisar número de refugiados no Brasil, suas origens, sua ocupação aqui, como o Governo Federal posiciona-se nesta questão política e humanitária etc.

2. Situações Econômicas

O Brasil está vivendo uma crise econômica que dá pequenos sinais de melhora, mas ainda assim temos mais de 10 milhões de cidadãos desempregados. Esta não é a primeira nem será a última crise econômica pela qual passamos e estudar o histórico brasileiro neste aspecto é interessante, analisando-o dos pontos de vista financeiro, econômico, social, histórico e político. Ainda somos um país no qual há uma enorme desigualdade social: muitos têm pouco e poucos têm muito.

3. Movimentos Sociais

Os movimentos sociais representativos de minorias estão tomando corpo e ganhando espaço nas mídias e na sociedade. A cada dia que passa cresce o número de coletivos feministas, negros, da comunidade LGBT, entre outros e, consequentemente, também aumenta a sua atuação no país. As provas de redação recentes do Enem abordaram três grupos minoritários: mulheres, religiões de matriz africana e os negros. Ao discutir a persistência da violência contra a mulher na sociedade brasileira, o exame abordou a minoria feminina em direitos no Brasil; ao abordar os caminhos para se combater a intolerância religiosa no Brasil, o Enem colocou em xeque a intolerância religiosa contra religiões de matriz africana, por exemplo, o que está intimamente ligado ao racismo, tema da segunda edição do Enem 2016. Caso o Enem continue nesta temática, é possível que a comunidade LGBT ou a camada social mais pobre do país sejam temas da prova de redação.

4. Lutas por Direitos

Lutar por direitos civis está intimamente ligado com o tema acima – Movimentos Sociais – e com o tema a seguir – Temáticas Raciais e de Gênero. A luta pelos direitos garantidos pela Constituição Brasileira de 1988, para todos os brasileiros, e a luta individual por cada minoria são temas cada vez mais recorrentes na mídia. As pessoas estão se organizando em coletivos e em movimentos ou estão lutando sozinhas, sendo ativistas nas ruas, na sua comunidade e na internet pela busca de direitos humanos e direitos civis.

5. Temáticas Raciais e de Gênero

Particularmente não concordamos com o termo “raça”, já que a ciência já provou que existe apenas uma raça humana. O que existem são etnias e este termo refere-se não só à cor da pele, mas também à história e à cultura de um determinado povo, de uma determinada etnia. As temáticas das etnias negra e indígena, no Brasil, são históricas devido ao holocausto indígena e à escravidão, algo que ainda é uma dívida no país, pois ainda existem muitos problemas sociais consequentes destes fatos históricos, portanto, os negros e os indígenas são minoriais sociais brasileiras, pois há para eles negação de direitos e de igualdade social. Deste modo, as temáticas étnicas podem ser abordadas de diferentes formas numa prova de redação do Enem, como por exemplo, abordando temas como cotas raciais ou étnicas, demarcação de terras, desigualdade social etc. Já as temáticas relacionadas à questão do gênero também podem ser abordadas sob diferentes aspectos, já que a comunidade LGBT é muito diversa e grande, com várias representações. O debate sobre a questão do gênero pode ser um foco, assim como a questão do mercado de trabalho, o preconceito, a homofobia, a aceitação, políticas afirmativas etc.

6. O Impacto Humano no Meio Ambiente

PNE Divulga Mais uma Lista de Possíveis Temas da Redação do Enem 2017

Há muito tempo o Enem não aborda em sua prova de redação um tema relacionado ao meio ambiente e seria uma grata surpresa se isso ocorre neste ano de 2017. O impacto humano no meio ambiente pode se dar de diversas formas, como por exemplo, na questão do lixo (destino e reciclagem), no uso consciente de água, desmatamento, poluição em geral, acidentes ambientais (como o infeliz acontecimento em Mariana, por exemplo), a dualidade entre agronegócio e meio ambiente etc.

7. Preocupação com a Questão Hídrica e Recursos Não Renováveis

Este tema está interligado com o anterior, apenas está focando o uso de recursos não renováveis como a água. A cada dia que passa somos mais dependentes de recursos não renováveis como a água e o petróleo e se não cuidarmos desta questão agora nosso futuro será incerto.

8. Prevenção ao Suicídio e ao Bullying nas Escolas e Universidades do País

O suicídio entre os jovens cresce assustadoramente no Brasil e no mundo e muitos casos estão relacionados com o ocorrência da depressão que, por sua vez, pode ser originada pelo bullying, fenômeno presente em todas as escolas brasileiras, entre as públicas e as privadas. Universidades brasileiras estão assistindo a ondas de suicídio, estudantes de pós-graduação (mestrado e doutorado, principalmente), queixam-se muito de problemas mentais e emocionais ao longo dos cursos devido à pressão e, deste modo, vidas são desperdiçadas.

Muitos destes temas e dos temas da primeira lista estão interligados e muitos deles já foram discutidos por esta coluna e são trabalhados em nosso Curso Online de Redação. Basta você procurar os textos em nosso portal e
se matricular em nosso curso. Nestes textos, abordamos e debatemos os temas com muito mais profundidade.

Até a próxima semana!

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*CAMILA DALLA POZZA PEREIRA é graduada e mestranda em Letras/Português pela Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP). Atualmente trabalha na área da Educação exercendo funções relacionadas ao ensino de Língua Portuguesa, Literatura e Redação. Foi corretora de redação em importantes universidades públicas. Além disso, também participou de avaliações e produções de vários materiais didáticos, inclusive prestando serviço ao Ministério da Educação (MEC).

**Camila é colunista semanal sobre redação do nosso portal. Seus textos são publicados todas as quintas!

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