Função do 1º grau

Uma função do 1º grau, também conhecida como função linear ou afim, é uma das funções mais básicas e importantes na matemática. Ela é expressa na forma f(x) = ax + b, onde:

• a é o coeficiente angular ou inclinação da reta.
• b é o coeficiente linear ou o ponto onde a reta cruza o eixo y.

Características da Função do 1º Grau

1. Gráfico: O gráfico de uma função do 1º grau é uma reta. A inclinação (a) determina a inclinação da reta, e o coeficiente linear (b) determina o ponto de interseção com o eixo y.
2. Raiz: A raiz ou zero da função é o ponto onde a função cruza o eixo x (ou seja, f(x) = 0). Para encontrar a raiz, basta resolver a equação ax + b = 0.
3. Crescimento e Decrescimento:
• Se a > 0, a função é crescente.
• Se a < 0, a função é decrescente.

   a > 0 (Função crescente)           a < 0 (Função decrescente)

Exemplo

Vamos considerar a função f(x) = 2x + 3:

• Aqui, a = 2 e b = 3.
• O gráfico dessa função será uma reta com inclinação positiva que cruza o eixo y no ponto (0,3).
• Para encontrar a raiz, resolvemos 2x + 3 = 0  ⇒  2x = – 3, o que nos dá x = – 1,5.

                    

Exercícios:

1 - Identifique quais das funções abaixo são do 1º grau:

a) f(x) = 10x – 12       b) f(x) = 1/x + 8

c) f(x) = 9x + 3           d) f(x) = 4x² + 3x – 16

e) f(x) = 5x + 3x³        f) f(x) = 5x – 1

 Resposta: As funções que têm a forma f(x) = ax + b são (a), (c) e (f).

2 - Determinando os coeficientes da função y = 2x + 9, vamos ter:

a) a = 2 e b = 9

b) a = 1 e b = 9

c) a = 9 e b = 1

d) a = 2 e b = 11

 Resposta: 

y = ax + b

y = 2x + 9

a = 2  e  b = 9

3 - Uma função do primeiro grau tem lei de formação dada por y = 2x + 3, qual o valor de x para que y = 13?

a) x = 8

b) x = 12

c) x = 9

d) x = 5

 Resposta: y = 2x + 3

13 = 2x + 3

13 - 3 = 2x

10 = 2x

10/2 = x

x = 5

4 – O problema a seguir, refere-se às questões 4, 5 e 6.

Paulo trabalha como funcionário de uma loja e recebe R$ 1 800,00 todo mês mais R$ 10,00 por cada produto vendido.

Escreva a função que representa seu salário;

a) y = 1 800x + 10

b) y = 10x + 1 800

c) y = (1 800 + 10)x

d) y = 1 810x

 Resposta: y = 10x + 1 800

5 - Se ele vender 42 unidades do produto, quanto vai receber?

a) R$ 2 220,00

b) R$ 3 010,00

c) R$ 1 810,00

d) R$ 2 410,00

Resposta:

x = 42

y = 10x + 1800

y = 10ㆍ42 + 1800

y = 420 + 1800

y = 2220

6 - Para receber R$ 2000,00 de salário em um mês, quantos produtos ele deve vender?

a) 20 produtos.
b) 25 produtos.
c) 23 produtos.
d) 15 produtos.

Resposta: y = 2000

y = 10x + 1800

2000 = 10x + 1800

2000 - 1800 = 10x

200= 10x

200/10 = x

x = 20

Equação literal do 1º grau

A equação literal do 1º grau é uma equação algébrica que envolve letras (ou variáveis) além da incógnita. Essas letras representam valores constantes que podem ser substituídos por números específicos conforme o contexto do problema.

Definição

Uma equação do 1º grau tem a forma geral:

ax + b = 0

onde:

• x é a incógnita,
• a e b são números reais conhecidos (ou literais).

Quando esses coeficientes são representados por letras, chamamos a equação de equação literal.

Exemplos de Equações Literais

1 – Exemplo básico:

ax + b = 0

Para resolver, isolamos x:

Aqui, o valor de x depende dos valores de a e b.

2 – Exemplo numérico com literais:
Se tivermos a equação

3x + b = 9

e soubermos que b = 2, substituímos na equação:

3x + 2 = 9  ⇒  3x = 9 – 2  ⇒  3x = 7

3 - Exemplo aplicado:
Imagine que a fórmula da temperatura em graus Fahrenheit seja dada por:

F = 1,8C + 32

Se quisermos encontrar o valor de C em termos de F, isolamos C:

F – 32 = 1,8C  ⇒  1,8C = F – 32 

Exercícios

1 – Resolva a equação 7x + 4m = 5x + 8m, sendo x a incógnita.

7x + 4m = 5x + 8m  ⇒  7x – 5x = 8m – 4m

2x = 8m – 4m  ⇒  2x = 4m

x = 2m 

2 – Considerando x a incógnita, resolva a equação literal 3(mx + n) – 2mx = 5n.

3(mx + n) – 2mx = 5n  ⇒  3mx + 3n – 2mx = 5n

3mx – 2mx = 5n – 3n  ⇒  mx = 2n

Com m ≠ 0.

3 – Considerando x a incógnita, resolva a equação 10x + 7a = 2x + 24.

10x + 16a = 2x + 24  ⇒  10x – 2x = 24 – 16a

8x = 24 – 16a

Colocando 8 em evidência no numerador da fração:

x = 3 – 2a

4 – Resolva as equações literais na variável x:

a) 2(x + m) = x – m

 2x + 2m = x – m  ⇒  2x  –  x = – m – 2m

x = – 3m

b) 3ax – 5 = ax + 4b

3ax – ax = 4b + 5  ⇒  2ax = 4b + 5

Com a ≠ 0.

c) 3ay – 2(ay + b) = 6b + y

3ay – 2ay – 2b = 6b + y  ⇒  3ay – 2ay – y = 6b + 2b

ay – y = 8b

Colocando y em evidência no primeiro membro da equação:

ay – 1y = 8b  ⇒  y(a – 1) = 8b

Com a ≠ 1.

5 – Obtenha a solução das equações literais a seguir:

a) ax + 2a = 2  (a variável é x)

b) 2by + 4 = 4b – 1  (a variável é y)

c) 8c – 5cz = 2 + cz  (a variável é x) 

Resolução:

a) ax + 2a = 2   ⇒   ax = 2 – 2a

Com a ≠ 0.

b) 2by + 4 = 4b – 1  

2by = 4b – 1 – 4   ⇒     2by = 4b – 5

Com b ≠ 0. 

 c) 8c – 5cz = 2 + cz 

– 5cz – cz = 2 – 8c    ⇒   – 6cz = 2 – 8c

Colocando 2 em evidência no numerador:

Com c  ≠ 0.

6 – Resolva a seguinte equação literal sendo x a incógnita:

Resolução:

Vamos escrever as frações com o mesmo denominador:

bx = 1 – ax

bx + ax = 1

Colocando x em evidência:

x⋅(b + a) = 1

Área do triângulo

A área de um triângulo pode ser calculada através do produto entre a base e a altura, dividido por dois. No entanto, existem outras formas de calcular a área de um triângulo, dependendo dos dados fornecidos. 

Fórmulas para calcular a área de um triângulo 

Onde a base é b e a altura do triângulo é h.

Onde o ângulo A e oposto ao lado a e b e c são os outros dois lados.

 • Fórmula de Heron: 

Onde p é o semiperímetro, ou seja, metade do perímetro e a, b, c são os lados.

• Triângulo equilátero: 

Onde l é a medida do lado do triângulo.

• Triângulo inscrito num círculo de raio R: 

Onde a, b, c são os lados e R é o raio da circunferência circunscrita.

• Triângulo circunscrito ao círculo de raio R:

A = p⋅R

Onde R é o raio da circunferência, p é o semiperímetro, ou seja, metade do perímetro e a, b, c são os lados:

                   

Exercícios

1 - Calcular a área do triângulo:

               

Resolução:

2 – Qual é a área do triângulo abaixo?

   

Resolução:

• O triângulo é isósceles, logo os ângulos das base são iguais.

• Primeiramente, vamos calcular a altura do triângulo, usando o teorema de Pitágoras:

 a² = b² + c²
 15² = h² + 9²
 15⋅15 = h² + 9⋅9
 225 = h² + 81
 225 = h² + 81
 225 – 81 = h²

•  Cálculo da área do triângulo:

b = 18 cm    e    h = 12 cm  

A = 9 cm ⋅12 cm

A = 108 cm²

3 – Qual é a área do triângulo da figura?

Resolução:

• Fazendo:

a = 5 cm

b = 6 cm

c = 7 cm

• Usando a fórmula de Heron:

ou

Como:

4 - A área de um triângulo inscrito em uma circunferência é 30 cm². Sabendo que os lados do triângulo medem 8 cm, 9 cm e 10 cm, calcule o raio dessa circunferência.

Resolução:

R = ?     a = 8 cm,    b = 9 cm    e    c = 10 cm

A = 30 cm²

• Substituindo esses valores em:

R = 6 cm

5 – Calcular a área de um triângulo, conhecendo dois lados e um ângulo entre eles, conforme a figura:

Resolução:

• Usando a fórmula:

• Fazendo b = 6 cm, c = 8 cm e

• Como:

6 – Um triângulo está circunscrito a uma circunferência de raio  cm. Sabendo que os lados do triângulo medem 7 cm, 8 cm e 9 cm, calcule a área desse triângulo.

Resolução:
• Cálculo do semiperímetro do triângulo:

• Cálculo da área:

7 – Calcule a área do triângulo da figura:

          

Resolução: