Propriedades das potências

Exercícios:

1 - Qual é a forma mais simples de escrever a expressão 2⁴ ⋅ 2⁶?

Resposta: 2⁴ ⋅ 2⁶ = 2^{4 + 6} = 2¹⁰

2 - Simplifique a expressão com divisão de potências 10⁵: 10³.

 Resposta:

10⁵: 10³ = 10^{5 – 3} = 10² = 10 ⋅ 10 = 100

 3 - Escreva em forma de fração 10 ^{– 3}.

Resposta: 10 ^{– 3} =

4 - Usando as propriedades de potências, simplifique: 

a) (2³)²

b) 15¹⁰:15 ⁸    

Resposta:

 

    

5 - Simplifique a expressão:

Resolução:

6 - Calculando o valor da expressão

vamos ter:

a) 1          b) -11/6          c) 2          d) -5/2          e) 7/4

Resolução:

7 - Quanto é 9⁸ – 9⁷ – 9⁶ ?

Resolução:

8 - Qual é o valor de

Resolução:

9 - Calcule o valor da potência:

Resolução:

Racionalizando o denominador da fração:

10 – O valor da expressão abaixo é:

a) 1            b) 3           c) 27           d) 81 

    Resolução:

11 – Determine o valor da expressão:

           

         

       Resolução:

      

      12 – Qual é o valor de “n” na expressão abaixo?

      

       

       Resolução:

Reordenando os números no numerador:

13 – (Olimpíadas de Matemática da Noruega) Qual é o valor da expressão 2¹⁸ – 1.

Resolução:

2¹⁸ – 1 = (2⁹)² – 1² = (2⁹ + 1)⋅(2⁹ – 1)

= (512 + 1)⋅(512 – 1) = (513)⋅(511)

= (500 + 13)⋅(500 + 11)

= 500⋅500 + 500⋅11 + 13⋅500 + 13⋅11

= 250 000 + 500⋅(11 + 13) + 143

= 250 000 + 500⋅(24) + 143

= 250 000 + 12 000 + 143

= 262 143

Logo:  2¹⁸ – 1 = 262 143

14 – Calcule o valor de x na equação exponencial 3^x = x⁹.

Resolução:

3^x = x⁹

• Elevando ambos os membros da equação por1/9:

• Elevando ambos os membros da equação por1/x:

• Elevando o primeiro membro da equação por 3 e por 1/3:

• Trocando a ordem dos expoentes:

Limite

O conceito de limite é fundamental no cálculo e análise matemática. Essencialmente, o limite de uma função descreve o comportamento dessa função à medida que a entrada (ou variável independente) se aproxima de um determinado valor. 

Imagine que temos uma função f(x), e estamos interessados em saber o que acontece com f(x) quando x se aproxima de algum valor específico c. O limite de f(x) à medida que x se aproxima de c é denotado por:

Considere a função:

• Queremos encontrar o limite de f(x) quando x se aproxima de 0. Observamos que:

Quando x se aproxima de 0 pela direita:

f(x) cresce indefinidamente (tende a  + ∞).

• Quando x se aproxima de 0 pela esquerda:

 f(x) cresce indefinidamente (tende a  − ∞).

Portanto, não existe um limite finito de f(x) quando x se aproxima de 0, mas entendemos o comportamento da função nessas condições.
Os limites são cruciais para a definição de derivadas, integrais e a continuidade de funções.

Exercícios

1 – Calcule o valor do limite:

Resolução:

2 – Calcule o valor do limite:

Resolução:

• Vamos usar a fatoração:

3 – Resolva o limite:

Resolução:

• Lembrando que:

4 – Resolva o limite:

Resolução:

• Colocando 2 em evidência: 

• Lembrando que: 

5 – Calcule o valor do limite:

Resolução:

• Multiplicando o numerador e o denominador por:

• Vamos ter:

6 – Determine o valor do limite:

Resolução:

• Lembrando que:

7 – Calcule o valor do limite:

Resolução:

• Usando a regra de fatoração:
a³ – b³  =(a – b)⋅(a² + ab + b²)