Exercícios com fatoração de polinômios

Fatorar um polinômio significa escrevê-lo na forma de produto (ou potência). As fatorações mais conhecidas são: fator comum em evidência, agrupamento, diferença entre dois quadrados, trinômio quadrado perfeito e diferença de dois cubos. 

• Fator Comum em Evidência

Usamos esse tipo de fatoração quando existir um fator que se repete em cada termo de um polinômio.

Veja os exemplos:

     Termo em evidência

     Termo em evidência

              Termo em evidência

• Agrupamento 

Agrupamento é o método pelo qual simplificamos expressões algébricas, colocamos os fatores comuns dos agrupamentos em evidência duas ou mais vezes. 

a) ax + 2bx + ay + 2by = x⋅(a + 2b) + y⋅(a + 2b) 

= (a + 2b)(x + y) 

b) 3ax + 6a + b²x + 2b² = 3a⋅(x + 2) + b²⋅(x + 2) 

= (x + 2)⋅(3a + b²)

• Trinômio Quadrado Perfeito 

O quadrado perfeito (a + b)² ou (a – b)² é composto por dois fatores (a e b). 

Assim, a fatoração do trinômio quadrado perfeito será: 

a² + 2ab + b² = (a + b)² 

a² – 2ab + b² = (a – b)² 

Exemplos: 

a) x² + 2xy + y² = (x + y)² 

b) x² – 2xy + y² = (x – y)² 

c) 9x² + 24xy + 16y² = (3x)² + 2·3x·4y + 16y² = (3x + 4y)² 

• Diferença de Dois Quadrados 

Para fatorar polinômios do tipo a² – b² usamos o produto notável da soma pela diferença. 
Assim, a fatoração de polinômios desse tipo será:

a² – b² = (a + b)(a – b)

Exemplos:

• Trinômio não Quadrado Perfeito

Exemplos: 

• Diferença de dois cubos

Exemplos: 

• Soma de dois cubos

Exemplos: 

Exercícios

1 – Sabendo que os trinômios a seguir são quadrados perfeitos, escreva a forma
fatorada de cada um deles.
a) 4x² – 12xy + 9y²
b) y² + 22y + 121

Resolução:

2 – Fatore o polinômio 4x² – y².

 Resolução:

4x² – y²  = (2x)² – y²

= (2x – y)⋅(2x + y) 

3 – Fatore o polinômio x³ + 3x² – 6x – 18.

 Resolução:

 x³ + 3x² – 6x – 18
= x²⋅(x + 3) – 6⋅(x + 3) 
= (x + 3)⋅( x² – 6)

4 – Fatore completamente o polinômio 3a²x – 3b²x + 2a² – 2b².

 Resolução:

3a²x – 3b²x + 2a² – 2b²

= 3x⋅(a² – b²) + 2⋅(a² – b²)

= (a² – b²)⋅(3x + 2)

= (a + b)⋅(a – b)⋅(3x + 2)

5 – Fatore o binômio x³ – 36x.

Resolução:

x³ – 36x = x⋅(x² – 36)

x³ – 36x = x⋅(x² – 6²) 

x³ – 36x = x⋅(x + 6)⋅(x – 6)

6 – Simplifique a expressão abaixo:

(2x + y)² + (2x – y)² + 2(2x – y)(2x + y)

• Resolvendo separadamente:

• Então:

7 – Usando fatoração, calcule o valor da expressão:

Resolução:

8 – Fatore o trinômio 2x² + 5x – 12.

Resolução:

2x² + 5x – 12

• Escrevendo 5x como 8x – 3x:

2x² + 5x – 12

= 2x² + 8x – 3x – 12

= 2x⋅x + 2x⋅4 – 3x – 3⋅4

= 2x⋅(x + 4) – 3⋅(x + 4)

= (x + 4)⋅(2x – 3)

9 – Fatore o binômio x⁶ – y⁶.

Resolução:

• Escrevendo x⁶ – y⁶ em forma de uma diferença de dois cubos:

x⁶ – y⁶ = (x²)³ – (y²)³

• Usando a fatoração da diferença de dois cubos:

a³ – b³    = (a – b)⋅(a² + a⋅b + b²)      

e

• Diferença de Dois Quadrados: 
a² – b² = (a + b)⋅(a – b)

• Vamos ter:

x⁶ – y⁶ = (x²)³ – (y²)³

= [x² – y²]⋅[(x²)² + x²⋅y² + (y²)²]

= (x + y)⋅(x - y)⋅(x⁴ + x²y² + y⁴)

10 – Fatore o trinômio 3x² + 7x – 6.

Resolução:

• Fazendo 3x = y:

• Logo: 3x² + 7x – 6 = (x + 3)⋅(3x – 2)

11 – Resolva a equação (n³)² = (2²)³.

Resolução:

(n³)² = (2²)³

(n³)² – (2³)² = 0

• Usando a fatoração de polinômios:

(n³)² – (2³)² = 0

(n³ + 2³).( n³ – 2³) = 0

• Usando as fatorações de polinômios:

e

(n³ + 2³)⋅( n³ – 2³) = 0

(n + 2)⋅(n² – n⋅2 + 2²)⋅(n – 2)⋅( n² + n⋅2 + 2²) = 0

(n + 2)⋅(n² – 2n + 4)⋅(n – 2)⋅( n² + 2n + 4) = 0

• Resolvendo a equação n² – 2n + 4 = 0:

• Resolvendo a equação n² + 2n + 4 = 0:

• Solução:

Exercícios com divisão de frações

 Para dividir duas frações, multiplicamos a primeira fração pelo inverso da segunda fração:

Lembrar que o inverso de "a" é:

E que para multiplicar frações, multiplicamos seus numeradores e também seus denominadores:

Exercícios: Calcule o resultado das divisões de frações:

Resolução:

Exercícios com função polinomial do 2° grau

A função quadrática, também chamada de função polinomial do segundo grau, é expressa como: 

f(x) = ax² + bx + c

ou 

y = ax² + bx + c 

Sendo que os coeficientes “a”, “b” e “c” são números reais e “a” é diferente de 0 (zero).

O gráfico da função quadrática no plano cartesiano, é uma curva chamada de parábola.

                                               Parábola

A concavidade da parábola depende do coeficiente “a” da função:

Exercícios

1 – Os coeficientes da função quadrática y = 2x² + 3x – 1, são:

a. (     ) a =  – 2,  b = – 3 e  c = 1                          b. (     ) a = 2,  b =  3  e  c = – 1

c. (     ) a =  2,  b = – 3 e  c = 1                             d. (     ) a = 2,  b = – 3  e  c = – 1

Comparando com a função dada com a lei de formação:

Resolução: 

y = ax² + bx + c

y = 2x² + 3x – 1

a = 2,  b = 3   e   c = – 1

Resposta: Letra B

2 – Quais são os coeficientes das seguintes funções do 2º grau? 

a) y = 2x² + 6x – 5 

b) f(x) = – x² – 3x + 4 

c) f(x) = x² + x – 6 

a) Resolução: 
Comparando com a função dada com a lei de formação:

a = 2, b = 6 e c = – 5. 


b) Resolução: 

Comparando com a função dada com a lei de formação:

a = – 1, b = – 3 e c = 4. 

c) Resolução:

Comparando com a função dada com a lei de formação:

f(x) = ax² + bx + c

f(x) = x² + x – 6 

a = 1,  b = 1  e  c – 6 . 

Observe que quando os coeficientes a e b forem iguais a 1, não os escrevemos: 

1x² = x²   e   1x = x 

3 – Qual é o valor numérico de f(– 1) na função de 2º grau f(x) = 2x² + 4x – 3? 

Resolução:  

Para encontrar o valor numérico de uma função, basta substituir a variável independente pelo valor desejado e encontrar o valor da variável dependente: 

Fazendo x = – 1, vamos ter: 

f(x) = 2x² + 4x – 3 
f(–1) = 2⋅ (–1)² + 4⋅ (–1) – 3 
f(–1) = 2⋅ (–1) ⋅ (–1) + 4⋅ (–1) – 3
f(–1) = 2⋅ (+1) – 4 – 3
f(–1) = 2 – 4 – 3 
f(–1) = – 2 – 3 
f(–1) = – 5 

Resposta: f(–1) = – 5 

4 – Qual é a lei de formação da função quadrática em que seus coeficientes são: a = 2, b = – 3 e c = 10? 

Resolução: 

Para escrever essa função quadrática, vamos substituir os valores dos coeficientes, na lei de formação: 

f(x) = ax² + bx + c 

f(x) = 2x² – 3x + 10 

ou 

y = ax² + bx + c 

y = 2x² – 3x + 10