- Fator Comum em Evidência
- Agrupamento
a) ax + 2bx + ay + 2by = x⋅(a + 2b) + y⋅(a + 2b)
= (a + 2b)(x + y)b) 3ax + 6a + b²x + 2b² = 3a⋅(x + 2) + b²⋅(x + 2)
- Trinômio Quadrado Perfeito
Assim, a fatoração do trinômio quadrado perfeito será:
a² + 2ab + b² = (a + b)²
a² – 2ab + b² = (a – b)²
Exemplos:
a) x² + 2xy + y² = (x + y)²
b) x² – 2xy + y² = (x – y)²
c) 9x² + 24xy + 16y² = (3x)² + 2·3x·4y + 16y² = (3x + 4y)²
- Diferença de Dois Quadrados
Assim, a fatoração de polinômios desse tipo será:
a² – b² = (a + b)(a – b)
- Trinômio não Quadrado Perfeito
Exemplos:
- Diferença de dois cubos
Exemplos:
- Soma de dois cubos
Exemplos:
fatorada de cada um deles.
a) 4x² – 12xy + 9y²
b) y² + 22y + 121
Resolução:
2 – Fatore o polinômio 4x² – y².
Resolução:
3 – Fatore o polinômio x3 + 3x2 – 6x – 18.
Resolução:
= x2⋅(x + 3) – 6⋅(x + 3)
= (x + 3)⋅( x2 – 6)
4 – Fatore completamente o polinômio 3a2x – 3b2x + 2a2 – 2b2.
Resolução:
3a2x – 3b2x + 2a2 – 2b2
= 3x⋅(a2 – b2) + 2⋅(a2 – b2)
= (a2 – b2)⋅(3x + 2)
= (a + b)⋅(a – b)⋅(3x + 2)
Resolução:
x3 – 36x = x⋅(x2 – 36)
x3 – 36x = x⋅(x2 – 62)
x3 – 36x = x⋅(x + 6)⋅(x – 6)7 – Usando fatoração, calcule o valor da expressão:
8 – Fatore o trinômio 2x2 + 5x – 12.
Resolução:
2x2 + 5x – 12
• Escrevendo 5x como 8x – 3x:
2x2 + 5x – 12
= 2x2 + 8x – 3x – 12
= 2x⋅x + 2x⋅4 – 3x – 3⋅4
= 2x⋅(x + 4) – 3⋅(x + 4)
= (x + 4)⋅(2x – 3)
9 – Fatore o binômio x6 – y6.
x6 – y6 = (x2)3 – (y2)3
• Usando a fatoração da diferença de dois cubos:
a3 – b3 = (a – b)⋅(a2 + a⋅b + b2)
e
• Diferença de Dois Quadrados:
a² – b² = (a + b)⋅(a – b)
• Vamos ter:
x6 – y6 = (x2)3
– (y2)3
= [x2 – y2]⋅[(x2)2
+ x2⋅y2 + (y2)2]
= (x + y)⋅(x - y)⋅(x4 + x2y2 + y4)
10 – Fatore o trinômio 3x2 + 7x – 6.
• Logo: 3x2 + 7x – 6 = (x + 3)⋅(3x – 2)
11 – Resolva a equação (n3)2 = (22)3.
Resolução:
(n3)2 = (22)3
(n3)2 – (23)2
= 0
• Usando a fatoração de
polinômios:
(n3)2 – (23)2
= 0
(n3 + 23).(
n3 – 23) = 0
• Usando as fatorações de polinômios:
(n3 + 23)⋅( n3 – 23) = 0
(n + 2)⋅(n2 – n⋅2 + 22)⋅(n
– 2)⋅( n2 + n⋅2 + 22) = 0
(n + 2)⋅(n2 – 2n + 4)⋅(n – 2)⋅( n2 + 2n + 4) = 0
• Resolvendo a equação n2 – 2n + 4 = 0:
• Solução:
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