quarta-feira, 14 de julho de 2021

Exercícios com fatoração de polinômios

Fatorar um polinômio significa escrevê-lo na forma de produto (ou potência). As fatorações mais conhecidas são: fator comum em evidência, agrupamento, diferença entre dois quadrados, trinômio quadrado perfeito e diferença de dois cubos

  • Fator Comum em Evidência
Usamos esse tipo de fatoração quando existir um fator que se repete em cada termo de um polinômio.
Veja os exemplos:
     Termo em evidência

     Termo em evidência

              Termo em evidência
  • Agrupamento 
Agrupamento é o método pelo qual simplificamos expressões algébricas, colocamos os fatores comuns dos agrupamentos em evidência duas ou mais vezes. 

a) ax + 2bx + ay + 2by = x(a + 2b) + y(a + 2b) 

= (a + 2b)(x + y) 

b) 3ax + 6a + b²x + 2b² = 3a(x + 2) + b²(x + 2) 
= (x + 2)⋅(3a + b²)
  • Trinômio Quadrado Perfeito 
O quadrado perfeito (a + b)² ou (a – b)² é composto por dois fatores (a e b). 

Assim, a fatoração do trinômio quadrado perfeito será: 

a² + 2ab + b² = (a + b)² 

a² – 2ab + b² = (a – b)² 


Exemplos: 

a) x² + 2xy + y² = (x + y)² 

b) x² – 2xy + y² = (x – y)² 

c) 9x² + 24xy + 16y² = (3x)² + 2·3x·4y + 16y² = (3x + 4y)² 

  • Diferença de Dois Quadrados 
Para fatorar polinômios do tipo a² – b² usamos o produto notável da soma pela diferença. 
Assim, a fatoração de polinômios desse tipo será:

a² – b² = (a + b)(a – b)

Exemplos:
  • Trinômio não Quadrado Perfeito

Exemplos: 

  • Diferença de dois cubos


Exemplos: 


  • Soma de dois cubos

Exemplos: 




Exercícios

1 – Sabendo que os trinômios a seguir são quadrados perfeitos, escreva a forma
fatorada de cada um deles.
a) 4x² – 12xy + 9y²
b) y² + 22y + 121

Resolução:



 Fatore o polinômio 4x² – y².

 Resolução:

4x² – y²  = (2x)² – y²
(2x – y)(2x + y) 

 Fatore o polinômio x3 + 3x2 – 6x – 18.

 Resolução:

 x3 + 3x2 – 6x – 18
x2(x + 3) – 6(x + 3) 
= (x + 3)( x– 6)

 Fatore completamente o polinômio 3a2x  3b2x + 2a2  2b2.

 Resolução:

3a2x  3b2x + 2a2  2b2

= 3x(a b2) + 2(a2  b2)

= (a b2)(3x + 2)

= (a + b)(a  b)(3x + 2)

5 – Fatore o binômio x3 – 36x.

Resolução:

x3 – 36x = x⋅(x2 – 36)

x3 – 36x = x⋅(x2 – 62

x3 – 36x 
= x(x + 6)(x – 6)

6 – Simplifique a expressão abaixo:
(2x + y)² + (2x – y)² + 2(2x – y)(2x + y)

 Resolvendo separadamente:

 Então:

 Usando fatoração, calcule o valor da expressão:


Resolução:

 Fatore o trinômio 2x2 + 5x – 12.

Resolução:

2x2 + 5x – 12

 Escrevendo 5x como 8x – 3x:

2x2 + 5x – 12

= 2x2 + 8x – 3x – 12

= 2xx + 2x4 – 3x – 34

= 2x(x + 4) – 3(x + 4)

= (x + 4)(2x – 3)

9 – Fatore o binômio x6 – y6.

Resolução:
 Escrevendo x6 – y6 em forma de uma diferença de dois cubos:

x6 – y6 = (x2)3 – (y2)3

 Usando a fatoração da diferença de dois cubos:

a3 – b3    = (a – b)(a2 + ab + b2)      

e

 Diferença de Dois Quadrados: 
a² – b² = (a + b)
(a – b)

 Vamos ter:

x6 – y6 = (x2)3 – (y2)3

= [x2 – y2][(x2)2 + x2y2 + (y2)2]

= (x + y)(x - y)(x4 + x2y2 + y4)

10 – Fatore o trinômio 3x2 + 7x – 6.

Resolução:

 Fazendo 3x = y:

 Logo: 3x2 + 7x – 6 = (x + 3)⋅(3x – 2)

11 – Resolva a equação (n3)2 = (22)3.

Resolução:

(n3)2 = (22)3

(n3)2 – (23)2 = 0

 Usando a fatoração de polinômios:

(n3)2 – (23)2 = 0

(n3 + 23).( n3 – 23) = 0

 Usando as fatorações de polinômios:

e

(n3 + 23)⋅( n3 – 23) = 0

(n + 2)⋅(n2 – n⋅2 + 22)⋅(n – 2)⋅( n2 + n⋅2 + 22) = 0

(n + 2)⋅(n2 – 2n + 4)⋅(n – 2)⋅( n2 + 2n + 4) = 0


• Resolvendo a equação n– 2n + 4 = 0:





 Resolvendo a equação n+ 2n + 4 = 0:




• Solução:




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