Fatorar um polinômio significa escrevê-lo na forma de produto (ou potência). As fatorações mais conhecidas são: fator comum em evidência, agrupamento, diferença entre dois quadrados e trinômio quadrado perfeito.
Fator Comum em Evidência
Usamos esse tipo de fatoração quando existir um fator que se repete em cada termo de um polinômio.
Veja os exemplos:
Agrupamento é o método pelo qual simplificamos expressões algébricas,
colocamos os fatores comuns dos agrupamentos em evidência duas ou mais vezes.
a) ax + 2bx + ay + 2by = x(a + 2b) + y(a + 2b)
= (a + 2b)(x + y)
b) 3ax + 6a + b²x + 2b² = 3a(x + 2) + b²(x + 2)
= (x + 2)(3a + b²)
Trinômio Quadrado Perfeito
O quadrado perfeito (a + b)² ou (a – b)² é composto por dois fatores (a e b).
Assim, a fatoração do trinômio quadrado perfeito será:
a² + 2ab + b² = (a + b)²
a² – 2ab + b² = (a – b)²
Exemplos:
a) x² + 2xy + y² = (x + y)²
b) x² – 2xy + y² = (x – y)²
c) 9x² + 24xy + 16y² = (3x)² + 2·3x·4y + 16y² = (3x + 4y)²
Agrupamento
Agrupamento é o método pelo qual simplificamos expressões algébricas,
colocamos os fatores comuns dos agrupamentos em evidência duas ou mais vezes.
a) ax + 2bx + ay + 2by = x(a + 2b) + y(a + 2b)
= (a + 2b)(x + y)
b) 3ax + 6a + b²x + 2b² = 3a(x + 2) + b²(x + 2)
= (x + 2)(3a + b²)
Trinômio Quadrado Perfeito
O quadrado perfeito (a + b)² ou (a – b)² é composto por dois fatores (a e b).
Assim, a fatoração do trinômio quadrado perfeito será:
a² + 2ab + b² = (a + b)²
a² – 2ab + b² = (a – b)²
Exemplos:
a) x² + 2xy + y² = (x + y)²
b) x² – 2xy + y² = (x – y)²
c) 9x² + 24xy + 16y² = (3x)² + 2·3x·4y + 16y² = (3x + 4y)²
Diferença de Dois Quadrados
Para fatorar polinômios do tipo a² – b² usamos o produto notável da soma pela diferença.
Assim, a fatoração de polinômios desse tipo será:
Para fatorar polinômios do tipo a² – b² usamos o produto notável da soma pela diferença.
Assim, a fatoração de polinômios desse tipo será:
1 – Sabendo que os trinômios a seguir são quadrados perfeitos, escreva a forma
fatorada de cada um deles.
a) 4x2 – 12xy + 9y2
b) y2 + 22y + 121
fatorada de cada um deles.
a) 4x2 – 12xy + 9y2
b) y2 + 22y + 121
Resolução:
2 – Simplifique a expressão abaixo:
(2x + y)² + (2x – y)² + 2(2x – y)(2x + y)
Resolvendo separadamente:
Então:
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