Lei de Hooke

 A Lei de Hooke descreve o comportamento de materiais elásticos submetidos a forças que causam deformação. Essa lei estabelece que a deformação de um objeto elástico, como uma mola, é proporcional à força aplicada a ele, desde que não ultrapasse seu limite de elasticidade.

Matematicamente, é expressa pela equação:

F = k⋅x

Onde:

• ( F ) é a força aplicada ao objeto,
• ( k ) é a constante elástica do material (indicando sua rigidez),
• ( x ) é a deformação sofrida pelo objeto em relação à sua posição de equilíbrio.

Conceitos Importantes:

1. Proporcionalidade: A força e a deformação são diretamente proporcionais dentro do regime elástico do material.
2. Limite de Elasticidade: Se a força for muito grande, o material pode sofrer deformação permanente e a Lei de Hooke não será mais válida.
3. Aplicações: Essa lei é fundamental para engenharia e física, sendo utilizada em sistemas de suspensão de veículos, construção de pontes, projetos de próteses biomecânicas e até mesmo em instrumentos musicais.

Exemplos

1 - Sabendo que a constante elástica de uma mola é igual a 350 N/m, determine qual é a força necessária para que essa mola sofra uma deformação de 2,0 cm.

a) 3,5 N
b) 12 N
c) 7 N
d) 70 N
e) 35 N

Resolução:

x = 2 cm = 2:100 m = 0,02 m
k = 350 N/m
F = 2,0 kN = 2 000 N
F = k⋅x
F = 350⋅0,02
F = 7 N

 2 - Determine o módulo da constante elástica de uma mola que é deformada em 25 mm quando puxada com uma força de 2,0 kN.

a) 0,5 N
b) 5,0 N
c) 100 N
d) 50 N
e) 0,05 N

Resolução:

x = 25 mm = 25:1000 m = 0,025 m

F = 2,0 kN = 2 000 N

F = k⋅x
2 000 = k⋅0,025

k = 80 000 N/m   ou   k = 80 kN/m

Exercícios

1 - (UFU-MG) O tiro com arco é um esporte olímpico desde a realização da segunda olimpíada em Paris, no ano de 1900. O arco é um dispositivo que converte energia potencial elástica, armazenada quando a corda do arco é tensionada, em energia cinética, que é transferida para a flecha.

Num experimento, medimos a força F necessária para tensionar o arco até uma certa distância x, obtendo os seguintes valores:

O valor e unidades da constante elástica, k, do arco são:

a) 16 m/N
b) 1,6 kN/m
c) 35 N/m
d) 5/8 x 10^-2 m/N

Resolução:

Como esses valores são proporcionais, podemos escolher qualquer par (F, x):

Para F = 160 N, x = 10 cm

x = 10 cm = 10:100 m = 0,1 m

F = k⋅x

k = 1 600 N/m

k = 1,6 kN/m

2 - (Unicamp) Assinale as afirmativas verdadeiras e as afirmativas falsas.

(  ) As molas são distendidas uniformemente por forças que variam com a distância.
(  ) A expressão da força que distende a mola de constante K é F = K∙x, onde x é o alongamento da mola.
(  ) A mola do item anterior reage sempre com força F′= − K∙x, onde x é o alongamento da mola.
(  ) Os dinamômetros são equipamentos destinados a medir forças.
(  ) Nos sistemas conservativos, a energia mecânica é conservada.

Resposta: Todas as alternativas são verdadeiras.

3 - (UFSM) Durante os exercícios de força realizados por um corredor, é usada uma tira de borracha presa ao seu abdome. Nos arranques, o atleta obtém os seguintes resultados:

∆x é a elongação da tira. O máximo de força atingido pelo atleta, sabendo que a constante elástica da tira é de 300 N/m e que obedece à lei de Hooke, é, em N:

a) 23 520

b) 17 600

c) 1 760

d) 840

e) 84

Resolução:

A maior força ocorrerá com a maior deformação. A força pode ser calculada pela lei de Hooke:

K = 300 N/m

x = 28 cm = 28:100 m = 0,28 m

F = k⋅x

F = 300⋅0,28

F = 84 N

4 - Uma pessoa de 75 kg está em cima de uma mola de compressão com constante de elasticidade de mola de 5 000 N/m e comprimento nominal de 0,25 m. Qual é o comprimento total da mola carregada? Adote g = 10 m/s².

Resolução:

x = 0,25 m

k = 5 000 N/m

m = 75 kg

F = P

P = m⋅g

F = k⋅x

x = 0,15 m

Nós agora subtraímos isto do comprimento nominal da mola:

L = L₀ – x

L = 0,25 – 0,15

L = 0,1 m

5 - (FUND. CARLOS CHAGAS) Uma mola elástica ideal, submetida a ação de uma força de intensidade F = 10N, está deformada de 2,0 cm. A energia elástica armazenada na mola é de:

a) 0,10 J

b) 0,20 J

c) 0,50 J

d) 1,0 J

e) 2,0 J

Resolução:

Cálculo da constante elástica da mola (Lei de Hooke):

F = 10 N

X = 2 cm = 2:100 m = 0,02 m

F = k⋅x

10 = k⋅0,02

K = 500 N/m

Calculo da energia potencial elástica:

 E_pe = 0,1 J

Energia potencial gravitacional

A energia potencial gravitacional é um conceito fundamental na física que descreve a energia armazenada em um objeto devido à sua posição em relação a um campo gravitacional. Em termos simples, é a energia que um corpo possui devido à sua altitude em relação ao solo ou a outro ponto de referência.

Alguns pontos importantes sobre a energia potencial gravitacional:

• Depende da posição: Quanto mais alto um objeto estiver, maior será sua energia potencial gravitacional em relação a um ponto de referência mais baixo.
• Depende da massa: Objetos mais massivos possuem mais energia potencial gravitacional na mesma altura do que objetos menos massivos.
• Depende da aceleração da gravidade: A intensidade do campo gravitacional também afeta a energia potencial. Em um planeta com maior gravidade, a energia potencial para a mesma massa e altura seria maior. Na Terra, a aceleração devido à gravidade é aproximadamente g=9.81m/s2 perto da superfície.
• Ponto de referência arbitrário: O ponto onde a energia potencial gravitacional é considerada zero é arbitrário e pode ser escolhido por conveniência (por exemplo, o chão, a superfície de uma mesa, ou até mesmo o infinito em alguns contextos). O que realmente importa são as diferenças na energia potencial.

A fórmula para calcular a energia potencial gravitacional é:

E_pg = m⋅g⋅h

Onde:

• ( E_pg ) é a energia potencial gravitacional (medida em Joule, J)
• ( m ) é a massa do objeto (medida em quilogramas, kg)
• ( g ) é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,8 m/s² na superfície da Terra),
• ( h ) é a altura do objeto em relação a um nível de referência (medida em metros, m)

De acordo com o Sistema Internacional de Unidades (SI) a unidade de medida da energia potencial gravitacional é o Joule.

Conceitos Importantes:

1. Trabalho e Energia: A energia potencial gravitacional pode ser convertida em energia cinética quando o objeto cai, seguindo o princípio da conservação da energia.
2. Sistema de Referência: A escolha do nível de referência para medir ( h ) é arbitrária e pode mudar dependendo do problema.
3. Aplicações: Esse conceito é amplamente utilizado em engenharia, astronomia e mecânica clássica, sendo essencial para entender fenômenos como quedas livres, funcionamento de usinas hidrelétricas e até mesmo o movimento de planetas e satélites.

Exemplos

1 - Determine o valor da energia potencial gravitacional de um homem de 90 kg posicionado uma torre de altura 50 m acima do solo. Considere a aceleração da gravidade como 10m/s².

a) 45 J

b) 450 J

c) 4 500 J

d) 45 000 J

e) 450 000 J

Resolução:
h = 50 m
m = 90 kg
g = 10 m/s²
E_pg = m⋅g⋅h
E_pg = 90⋅10⋅50
E_pg = 45 000 J

2 – (Marinha 2021) Um guindaste do Arsenal de Marinha do Rio de Janeiro (AMRJ) suspende um objeto de 200Kg a uma altura de 5m acima do nível do mar. Desprezando as dimensões do objeto e adotando o valor da aceleração da gravidade local igual a 10 m/s², calcule a energia potencial do objeto em relação ao nível do mar, e marque a opção correta.

a) 2 kJ
b) 4 kJ
c) 6 kJ
d) 8 kJ
e) 10 kJ

Resolução:

h = 5 m

m = 200 kg

g = 10 m/s²

E_pg = m⋅g⋅h
E_pg = 200 ⋅10 ⋅ 5 = 10 000

E_pg = 10 k J

Exercícios

1 – Um vaso de 2 kg está pendurado a 1,2 m de altura de uma mesa de 0,4 m de altura. Sendo g = 10 m/s², determine a energia potencial gravitacional do vaso em relação à mesa e ao solo.

Resolução:

Energia potencial gravitacional do vaso em relação à mesa:

h = 1,2 m

m = 2 kg

g = 10 m/s²

Epg = m⋅g⋅h

Epg = 2⋅10⋅1,2

E_pg = 24 J

Energia potencial gravitacional do vaso em relação ao solo:

h = 1,2 m + 0,4 m = 1,6 m

m = 2 kg

g = 10 m/s²

Epg = m⋅g⋅h

Epg = 2⋅10⋅1,6

E_pg = 32 J

2 – (UCB) Determinado atleta usa 25% da energia cinética obtida na corrida para realizar um salto em altura sem vara. Se ele atingiu a velocidade de 10 m/s, considerando g = 10 m/s², a altura atingida em razão da conversão de energia cinética em potencial gravitacional é a seguinte:

a) 1,12 m.
b) 1,25 m.
c) 2,5 m.
d) 3,75 m.
e) 5 m.

Resolução:

A energia cinética é igual à energia potencial gravitacional. Se apenas 25% da energia cinética foi usada para um salto, então as grandezas são relacionadas da seguinte forma:

Substituindo os valores do enunciado na fórmula, temos:

3 – (Anhembi Morumbi SP) Considere um ônibus espacial, de massa aproximada 1⋅10⁵ kg, que, dois minutos após ser lançado, atingiu a velocidade de 1,34 ⋅ 10³ m/s e a altura de 4,5 ⋅ 10⁴ m. Sabendo que a aceleração gravitacional terrestre vale 10 m/s², é correto afirmar que, naquele momento, as energias cinética e potencial, aproximadas, em joules, desse ônibus espacial, em relação ao solo, eram, respectivamente,

a) 3,0 ´ 10¹⁰ e 9,0 ´ 10¹⁰.
b) 9,0 ´ 10¹⁰ e 4,5 ´ 10¹⁰.
c) 9,0 ´ 10¹⁰ e 3,0 ´ 10¹⁰.
d) 3,0 ´ 10¹⁰ e 4,5 ´ 10¹⁰.
e) 4,5 ´ 10¹⁰ e 3,0 ´ 10¹⁰.

Resolução:

Energia cinética:

m = 1⋅10⁵ kg

v = 1,34⋅10³ m/s 

Energia potencial gravitacional:

h = 4,5 ⋅ 10⁴ m

m = 1⋅10⁵ kg

g = 10 m/s²

Epg = m⋅g⋅h

Epg = 1⋅10⁵⋅10 ⋅4,5 ⋅ 10⁴ = 4,5⋅10⁵⋅10¹ ⋅ 10⁴

Epg = 4,5⋅10^{5 + 1 + 4} 

Epg = 4,5⋅10¹⁰  J

4 – (IFSP) Um atleta de salto com vara, durante sua corrida para transpor o obstáculo à sua frente, transforma a sua energia _____________ em energia ____________ por causa do ganho de altura e, consequentemente, ao/à _____________ de sua velocidade.

As lacunas do texto acima são, correta e respectivamente, preenchidas por:

A) potencial – cinética – aumento
B) térmica – potencial – diminuição
C) cinética – potencial – diminuição
D) cinética – térmica – aumento
E) térmica – cinética – aumento

Resolução:

A energia cinética se converte em energia potencial gravitacional.

Resposta: Letra C

5 – (Mackenzie 2007) Um Drone Phanton 4 de massa 1300 g desloca-se horizontalmente, ou seja, sem variação de altitude, com velocidade constante de 36,0 km/h com o objetivo de fotografar o terraço da cobertura de um edifício de 50,0 m de altura. Para obter os resultados esperados o sobrevoo ocorre a 10,0 m acima do terraço da cobertura. A razão entre a energia potencial gravitacional do Drone, considerado como um ponto material, em relação ao solo e em relação ao terraço da cobertura é

a) 2           b) 3           c) 4           d) 5           e) 6

Resolução:

Energia potencial gravitacional do Drone em relação ao solo

m = 1300 g = 1300:1000 kg = 1,3 kg
v = 36 km/h = 36÷3,6 m/s = 10 m/s
h = 50 m + 10 m = 60 m
E_pg = m⋅g⋅h
Epg = 1,3⋅10 ⋅60 = 13⋅60
Epg = 780 J

Energia potencial gravitacional do Drone no terraço da cobertura:

h = 10 m
E_pg = m⋅g⋅h
Epg = 1,3⋅10 ⋅10 = 13⋅10
Epg = 130 J

Razão entre ambas energias potenciais:

Energia cinética

É um conceito fundamental na física que descreve algo bem intuitivo: a energia que um objeto possui devido ao seu movimento. Em outras palavras, qualquer coisa que esteja se movendo possui energia cinética.

Imagine uma bola rolando, um carro em alta velocidade ou até mesmo as minúsculas moléculas vibrando dentro de um objeto. Todos eles possuem energia cinética por causa do seu movimento. Quanto mais rápido eles se movem ou quanto maior a massa deles, maior será essa energia.

A equação que define a energia cinética é:

Onde:

• ( E_c ) é a energia cinética(medida em joule, J),
• ( m ) é a massa do objeto (medida em quilogramas, kg)
• ( v ) é a velocidade do objeto (medida em m/s)

Conceitos Importantes:

1. Relação com Energia Potencial: Em muitos sistemas físicos, como uma montanha-russa ou um pêndulo, a energia cinética se converte em energia potencial gravitacional e vice-versa, seguindo o princípio da conservação da energia.
2. Impacto da Velocidade: Como a velocidade está ao quadrado na equação, pequenas variações na velocidade resultam em grandes mudanças na energia cinética.
3. Aplicações: Esse conceito é essencial para entender colisões, movimento de veículos, funcionamento de máquinas e até mesmo fenômenos naturais, como o movimento de rios e o vento.

Exemplos

1 – (UFRGS) Para um dado observador, dois objetos A e B, de massas iguais, movem-se com velocidades constantes de 20 km/h e 30 km/h, respectivamente. Para o mesmo observador, qual a razão E_A/E_B entre as energias cinéticas desses objetos?

a) 1/3.
b) 4/9.
c) 2/3.
d) 3/2.
e) 9/4.

Resolução:

• Vamos calcular a energia cinética do objeto A: v_A = 20 km/h

• Calcular a energia cinética do objeto B:  v_B = 30 km/h

• Calcular a razão entre as energias cinéticas dos objetos A e B:  

2 – (PUC) Sabendo que um corredor cibernético de 80 kg, partindo do repouso, realiza a prova de 200 m em 20 s mantendo uma aceleração constante de a = 1,0 m/s², pode-se afirmar que a energia cinética atingida pelo corredor no final dos 200 m, em Joules, é:

A) 12000

B) 13000

C) 14000

D) 15000

E) 16000

Resolução:

m = 80 kg

Δs = 200 m

a = 1,0 m/s²

t = 20 s

• Calculando o valor da velocidade final por meio da equação de Torricelli:

v² = v₀² + 2 ∙ a ∙ Δs

v² = 0² + 2 ∙ 1 ∙ 200

v² = 0 + 400 = 400

• Calculando a energia cinética por meio da sua fórmula:

Exercícios

1 – (UCB) Determinado atleta usa 25% da energia cinética obtida na corrida para realizar um salto em altura sem vara. Se ele atingiu a velocidade de 10 m/s, considerando g = 10 m/s², a altura atingida em razão da conversão de energia cinética em potencial gravitacional é a seguinte:

a) 1,12 m.
b) 1,25 m.
c) 2,5 m.
d) 3,75 m.
e) 5 m.

Resolução:

A energia cinética é igual à energia potencial gravitacional. Se apenas 25% da energia cinética foi usada para um salto, então as grandezas são relacionadas da seguinte forma:

• Substituindo os valores do enunciado na fórmula, temos:

2 – (UCB) Determinado atleta usa 25% da energia cinética obtida na corrida para realizar um salto em altura sem vara. Se ele atingiu a velocidade de 10 m/s, considerando g = 10 m/s², a altura atingida em razão da conversão de energia cinética em potencial gravitacional é a seguinte:

a) 1,12 m.
b) 1,25 m.
c) 2,5 m.
d) 3,75 m.
e) 5 m.

Resolução:

• A energia cinética é igual à energia potencial gravitacional. Se apenas 25% da energia cinética foi usada para um salto, então as grandezas são relacionadas da seguinte forma:

• Substituindo os valores do enunciado na fórmula, temos:

3 – (PUC-RJ) Sabendo que um corredor cibernético de 80 kg, partindo do repouso, realiza a prova de 200 m em 20 s mantendo uma aceleração constante de a = 1,0 m/s², pode-se afirmar que a energia cinética atingida pelo corredor no final dos 200 m, em joules, é:

a) 12 000
b) 13 000
c) 14 000
d) 15 000
e) 16 000

 Resolução:

• Vamos determinar a velocidade final:

Como o corredor parte do repouso, sua velocidade inicial (v₀) tem valor zero.

v₀ = 0

a = 1,0 m/s²

t = 20 s

v = v₀ +at

v = 0 +1⋅20

v = 20 m/s

• Calcular a energia cinética do corredor.

m = 80 kg

4 – (Anhembi Morumbi SP) Considere um ônibus espacial, de massa aproximada 1⋅10⁵ kg, que, dois minutos após ser lançado, atingiu a velocidade de 1,34 ⋅ 10³ m/s e a altura de 4,5 ⋅ 10⁴ m. Sabendo que a aceleração gravitacional terrestre vale 10 m/s², é correto afirmar que, naquele momento, as energias cinética e potencial, aproximadas, em joules, desse ônibus espacial, em relação ao solo, eram, respectivamente,

a) 3,0 ´ 10¹⁰ e 9,0 ´ 10¹⁵⁺⁴⁰.
b) 9,0 ´ 10¹⁰ e 4,5 ´ 10¹⁰.
c) 9,0 ´ 10¹⁰ e 3,0 ´ 10¹⁰.
d) 3,0 ´ 10¹⁰ e 4,5 ´ 10¹⁰.
e) 4,5 ´ 10¹⁰ e 3,0 ´ 10¹⁰.

Resolução:

• Energia cinética:

m = 1⋅10⁵ kg

v = 1,34⋅10³ m/s 

• Energia potencial gravitacional:

h = 4,5 ⋅ 10⁴ m

m = 1⋅10⁵ kg

g = 10 m/s²

Epg = 1⋅10⁵⋅10 ⋅4,5 ⋅ 10⁴ = 4,5⋅10⁵⋅10¹ ⋅ 10⁴

Epg = 4,5⋅10^{5 + 1 + 4} 

Epg = 4,5⋅10¹⁰  J

5 – (UEL PR) Um elétron escapa da placa negativa de um capacitor, com velocidade inicial desprezível. Se a diferença de potencial entre as placas do capacitor é de 200 V e a carga elementar é de 

1,6 ∙ 10^–19C, a energia cinética com que o elétron atinge a placa positiva é, em joules,

a) 3,2 ∙ 10^–23

b) 8,0 ∙ 10^–22

c) 3,2 ∙ 10^–21

d) 8,0 ∙ 10^–18

e) 3,2 ∙ 10^–17

^Resolução:

U = 200 V

q = e = 1,6 ´ 10^–19 C

Resposta: Letra E

Arranjo condicional

Um arranjo condicional, em análise combinatória, é um tipo de arranjo onde, além da ordem dos elementos importar, há uma condição adicional que precisa ser satisfeita. Diferentemente dos arranjos simples, que não possuem restrições, os arranjos condicionais impõem uma condição que deve ser seguida na formação dos agrupamentos. 

Exemplos:

1 - Imagine que temos 5 cores diferentes para pintar uma bandeira, e queremos saber de quantas maneiras podemos pintá-la, sabendo que a primeira faixa deve ser sempre vermelha. Neste caso, a condição é que a primeira faixa seja vermelha.

Solução:

• Identificar a condição: A primeira faixa deve ser vermelha.
• Considerar as possibilidades restantes: Depois de pintar a primeira faixa de vermelho, restam 4 cores para as outras faixas.

• Aplicar o princípio multiplicativo: Para cada cor da primeira faixa (1 possibilidade), temos 4 possibilidades para a segunda faixa, 3 para a terceira, e assim por diante. Portanto, o número total de maneiras é 1 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24.

2 - Imagine que você quer formar grupos de 4 alunos a partir de um grupo de 10, com a condição de que dois alunos específicos (A e B) não podem estar no mesmo grupo. 

Solução:

Este é um exemplo de arranjo condicional. A ordem dos alunos no grupo importa, então é um arranjo, e a condição de que A e B não podem estar no mesmo grupo limita as possibilidades, tornando-o um arranjo condicional.

Para resolver este tipo de problema, uma estratégia útil é calcular o total de arranjos sem a condição e depois subtrair os arranjos que não cumprem a condição.

• Total de arranjos sem a condição:

A quantidade total de arranjos de 4 alunos escolhidos de um grupo de 10 é um arranjo de 10 elementos tomados de 4 em 4, que se calcula como:

• Arranjos onde A e B estão no mesmo grupo:

Se A e B estão juntos, podemos considerar eles como um único elemento. Então, estamos formando um grupo de 3 elementos, sendo um deles a dupla (A,B) e os outros dois escolhidos dos 8 alunos restantes.
A ordem dos elementos importa, então temos um arranjo de 3 elementos. A dupla (A,B) pode ocupar a primeira, segunda ou terceira posição no grupo.

(escolhendo os dois outros alunos)

• Como (A,B) pode estar em qualquer ordem, temos 2! = 2 possibilidades para a dupla.

Total de arranjos onde A e B estão juntos: 56 ⋅ 2 = 112

• Arranjos que cumprem a condição (A e B não estão juntos):

Subtraímos os arranjos onde A e B estão juntos do total de arranjos:

5040 – 112 = 4 928

Portanto, existem 4 928 maneiras de formar grupos de 4 alunos, onde A e B não estão no mesmo grupo, considerando que a ordem dos alunos no grupo importa.

Exercícios

1 - Quantos arranjos com 4 elementos do conjunto {A,B,C,D,E,F} começam com duas letras do subconjunto {D,E,F}?

Resolução:

• Vamos escolher as duas primeiras letras:

Temos 3 opções para a primeira letra (D, E ou F) e 2 opções para a segunda letra (as duas restantes de D, E, F).

• Vamos escolher as duas letras restantes:

Para as duas letras restantes, podemos escolher qualquer uma das 4 letras restantes (A, B, C e a que não foi escolhida de D, E, F).

• Total de arranjos:

Multiplicamos o número de maneiras de escolher as primeiras duas letras pelo número de maneiras de escolher as últimas duas letras:

2 – Com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, tomados 6 a 6, quantos números podem ser formados tendo nas duas posições iniciais algarismos distintos que são números ímpares?

Resolução:

3 – Com os algarismos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, tomados 4 a 4, quantos números podem ser formados tendo nas duas posições iniciais algarismos pares repetidos ou não?

Resolução:

4 - Quantas maneiras há de arranjar 5 pessoas em uma fila, se 2 pessoas específicas devem ficar juntas?

Resolução:

Sem restrições, o número total de maneiras de organizar 5 pessoas em uma fila é dado pelo fatorial:

5! = 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 120

Agora, considerando que duas pessoas específicas devem ficar juntas, podemos tratá-las como um único "bloco". Assim, em vez de organizar 5 indivíduos separadamente, agora temos 4 elementos para organizar: o "bloco" das duas pessoas e os outros três indivíduos.

O número de maneiras de organizar esses 4 elementos é:
4! = 4⋅3⋅2⋅1 = 24

Dentro do "bloco", as duas pessoas podem trocar de lugar entre si, o que adiciona mais possibilidades:
2! = 2⋅1 = 2

Portanto, o número total de maneiras de organizar essa fila, garantindo que as duas pessoas estejam juntas, é:
24⋅2 = 48

Então, há 48 maneiras de arranjar essas 5 pessoas mantendo as duas específicas sempre juntas.