Zero da função de 1° grau

Uma função de 1° grau é uma expressão matemática escrita na forma:

f(x) = ax + b

Aqui está o que cada termo significa:

• f(x): É o valor da função para um determinado "x". Muitas vezes, você verá isso como "y", já que no plano cartesiano a função associa valores de "x" (eixo horizontal) com valores de "y" (eixo vertical).

• a: É chamado de coeficiente angular e indica a inclinação da reta no gráfico. Ele mostra como "y" muda quando "x" muda.

• b: É o coeficiente linear, que representa o ponto onde a reta cruza o eixo "y" (ou seja, quando x = 0).

Propriedades principais:

1. Gráfico: O gráfico de uma função de 1° grau é sempre uma linha reta, daí o nome “função linear”.

2. Crescimento ou Decrescimento:

   • Se a > 0, a reta é crescente (sobe da esquerda para a direita).

   • Se a < 0, a reta é decrescente (desce da esquerda para a direita).

3. Raiz da função ou zero da função: A raiz da função é o valor de "x" que torna o valor da função (ou "y") igual a zero. Para encontrar a raiz, basta resolver ax + b = 0.

Exemplos:

1 – Se a função for f(x) = 2x + 3:

• a = 2 (a inclinação da reta é positiva, então a função é crescente).

• b = 3 (a reta cruza o eixo "y" no ponto 3).

• Fazendo f(x) = 0:

2x + 3 = 0   ⇒   2x = – 3   ∴   x = – 3/2

Logo, x = – 3/2 é o zero da função.

2 – Calcular a raiz (zero) das funções: 

a) f(x) = 2x – 4

• Para encontrar a raiz, fazemos f(x) = 0:

2x – 4 = 0 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 4/2 ⇒ x = 2

• A raiz dessa função é x = 2.

b) f(x) = – 3x + 6

• Para encontrar a raiz:

– 3x + 6 = 0 ⇒ – 3x = – 6 ⇒ 3x = 6 

x = 6/3   ∴  x = 2

• A raiz aqui também é x = 2.

c) f(x) = 5x + 10

• Para a raiz:

5x + 10 = 0 ⇒ 5x = – 10 ⇒ x = – 10/5 ⇒ x = – 2

• A raiz dessa função é x = – 2.

Exercícios

1 – Calculando o zero ou raiz da função f(x) = 2x – 10, vamos ter:

a) 3      b) 5       c) 7       d) 9      e) 11

Resolução:

x = ?

f(x) = 0

f(x) = 2x – 10

2x – 10 = 0

2x = 10

x = 5

2 – Determinar o zero da função y = 4x – 1.

Resolução:

x = ?

y = 0

y = 4x – 1

4x – 1 = 0

4x = 1 

3 – Calcule a raiz da função f(x) = 2x – 6.

a) 3      b) 5       c) 6       d) 9      e) 10

 Resolução:

x = ?

f(x) = 0

f(x) = 2x – 6

2x – 6 = 0

2x = 6

x = 3

4 – Pode-se afirmar que o zero da função afim f(x) = – 3x + 12 é:

a) 1      b) 2       c) 3       d) 4      e) 5

Resolução:

x = ?

f(x) = 0

f(x) = – 3x + 12

– 3x + 12 = 0

– 3x = – 12

x = 4

5 – Determine os zeros das seguintes funções do 1° grau:

a) y = x + 7                       d) y = – 3x + 6

b) y = – 5x + 5                  e) y = – 3x + 2

Resolução:

a) x = ?

y = 0

y = x + 7

x + 7 = 0

x = – 7

b) y = – 5x + 5 

x = ?

y = 0

 – 5x + 5 = 0

– 5x =  – 5 

x = 1

x = ?

y = 0

x = – 3⋅(– 2)

x = 6

d) y = – 3x + 6

x = ?

y = 0

– 3x + 6 = 0

– 3x = – 6

x = 2

 

e) y = – 3x + 2

x = ?

y = 0

– 3x + 2 = 0

– 3x = – 2

x = ?

y = 0

x = 2⋅(– 2)

x = 4

 

6 – Determine as coordenadas do ponto de interseção do eixo x com as seguintes retas:

a) y = x – 3              d) y = – 4x – 8

b) y = x + 7              e) y = – 2x + 6

c) y = 3x – 4            f) y = 2 – 2x

Resolução:

a) y = x – 3

y = 0

x – 3 = 0

x = 3

Resposta: (3, 0)

 

b) y = x + 7       

y = 0

x + 7 = 0

x = – 7

Resposta: (– 7, 0)

        

c) y = 3x – 4  

y = 0

3x – 4 = 0   

3x = 4

Resposta:

d) y = – 4x – 8

y = 0

– 4x – 8 = 0

– 4x = 8

 x = 2

Resposta: (2, 0)

 

e) y = – 2x + 6

y = 0

– 2x + 6 = 0

– 2x = – 6

 x = 3

Resposta: (3, 0)

 

f) y = 2 – 2x

y = 0

2 – 2x = 0

– 2x = – 2

 x = 1

Resposta: (1, 0)

 

 

Lançamento vertical

O lançamento vertical é um movimento presente na cinemática, uma das áreas da física, e refere-se ao movimento de um corpo lançado para cima ou para baixo na vertical, sob influência da gravidade terrestre. Esse tipo de movimento é classificado como retilíneo uniformemente variado (MRUV) porque a aceleração, causada pela gravidade, é constante e atua em direção ao centro da Terra.

Alguns aspectos importantes para entender o lançamento vertical incluem:

1. Aceleração da gravidade (g): É uma constante (– 9,8 m/s²), sempre dirigida para baixo, que influencia diretamente o movimento.
2. Velocidade inicial (v₀): Determina a energia inicial do objeto e afeta o tempo e a altura atingida.
3. Altura máxima: O ponto em que a velocidade do objeto se torna zero antes de começar a cair.
4. Equações do movimento: Ferramentas matemáticas que ajudam a descrever posição, velocidade e tempo no contexto do lançamento.

As principais equações do movimento no lançamento vertical, baseadas no Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV), são as seguintes:

Altura (posição) em função do tempo:

Onde:

• h é a altura (posição) no instante t,
• h₀ é a posição inicial,
• v₀ é a velocidade inicial,
• a é a aceleração (no caso do lançamento vertical, é − g),
• t é o tempo.

Velocidade em função do tempo:

v = v₀ + at

Onde:

• v é a velocidade final no instante t,
• v₀ é a velocidade inicial,
• a é a aceleração (no caso do lançamento vertical, é − g),
• t é o tempo do movimento.

Velocidade em função da altura(equação de Torricelli):

V² = v₀² + 2⋅a⋅(h − h₀)

Essas equações descrevem o comportamento do corpo durante todo o lançamento, desde o início do movimento até o retorno ao ponto de partida ou qualquer posição intermediária.

Exemplos

1 - Uma bola é lançada verticalmente para cima com velocidade inicial de 25m/s. Despreze a resistência do ar e considere g = 10 m/s². Após 3 segundos, ela se encontra a uma altura de:

a) 30 m.      b) 10 m.      c) 20 m.      d) 25 m.      e) 75 m.

Resolução:

h = ?

h₀ = 0

v₀ = 25 m/s

t = 3 s

a = – g = – 10 m/s²

2 – Uma pedra lançada verticalmente para cima, atinge a altura de 20 metros. Qual a velocidade de lançamento?

(Use g = 10 m/s²)

v₀ =?

h = 20 metros

v = 0 (Na altura máxima)

h₀ = 0

a = – g = – 10 m/s²

v² = v₀² + 2⋅a⋅(h − h₀)

0² = v₀² + 2⋅(– 10)⋅(20 − 0)

0⋅0 = v₀² − 20⋅20

0 = v₀² − 400    ⇒   v₀² = 400

Exercícios

1 – Uma esfera é lançada verticalmente para cima com uma velocidade inicial de 20 m/s. Sabendo que g = 10 m/s², a altura máxima a esfera atinge é:

a) 20 m     b) 40 m     c) 80 m     d) 120 m     e) 200 m

h  = ?

v = 0 (Na altura máxima)

h₀ = 0

v₀ = 20m/s

a = – g = – 10 m/s²

v² = v0² + 2⋅a⋅(h − h0)

0² = 20² + 2⋅(– 10)⋅(h − 0)0⋅0 = 20⋅20 − 20⋅h

0 = 400 − 20h

20h = 400

h = 400/20   ⇒   h = 20 metros

2 – (Brasil Escola) Um móvel é atirado verticalmente para cima a partir do solo, com velocidade de 72km/h. Determine:

a)  As funções horárias do movimento;

b)  O tempo de subida;

c)  A altura máxima atingida.

 Resolução: 

a) h₀ = 0

v₀ = 72 km/h =72 : 3,6 m/s = 20m/s

a = – g = – 10 m/s²

h = 20t – 5t²

v = v₀ + at

v = 20 + (– 10)⋅t

v = 20 – 10t

 

b) t = ?

v = 0

v = 20 – 10t

0 = 20 – 10t

10t = 20

t = 20/10  ⇒   t = 2 segundos

c) h = ?

t = 2 s

h = 20t – 5t²

h = 20⋅2 – 5⋅2²

h = 20⋅2 – 5⋅4

h = 40 – 20   ⇒   h = 20 metros

3 – (PUC-RJ) Uma bola é lançada verticalmente para cima. Podemos dizer que no ponto mais alto de sua trajetória:

a)  a velocidade da bola é máxima, e a aceleração da bola é vertical e para baixo.

b)  a velocidade da bola é máxima, e a aceleração da bola é vertical e para cima.

c)  a velocidade da bola é mínima, e a aceleração da bola é nula.

d)  a velocidade da bola é mínima, e a aceleração da bola é vertical e para baixo.

e)  a velocidade da bola é mínima, e a aceleração da bola é vertical e para cima.

RESPOSTA:

No ponto mais alto, a velocidade da bola é mínima e a aceleração da bola é vertical e para baixo.  ALTERNATIVA D

4 – (UEL) Com base no texto, considere as afirmativas a seguir.

I – Sob qualquer condição, um figo e uma folha, ao caírem simultaneamente da mesma altura, percorrem a mesma distância em instantes diferentes.
II – Aves, morcegos e macacos precisam vencer a mesma energia potencial gravitacional para usufruir do alimento no alto da figueira, independentemente de suas massas.
III – Independentemente da localização geográfica de uma figueira, um figo e uma folha, desprendendo-se do alto da árvore no mesmo instante, caem em direção ao solo, sujeitos à mesma aceleração.
IV – A explicação dada para a queda do figo, do alto de uma figueira, permite compreender porque a Lua se mantém na órbita terrestre.

Assinale a alternativa CORRETA.

a) Somente as afirmativas I e II são corretas.

b) Somente as afirmativas I e IV são corretas.

c) Somente as afirmativas III e IV são corretas.

d) Somente as afirmativas I, II e III são corretas.

e) Somente as afirmativas II, III e IV são corretas.

RESPOSTA:

III. Verdadeira, pois apenas a força da gravidade atua sobre o objeto e em ambos os casos a gravidade é a mesma. IV. Verdadeira, devido à força da gravidade.  ALTERNATIVA C

5 – Um projétil é lançado para cima, a partir do nível do solo, com de altura 25 m com relação ao solo com velocidade escalar inicial de 30 m/s. Admitindo g = 10 m/s² e desprezando a resistência do ar, analise as seguintes afirmações a respeito do movimento desse projétil.

I.       1 s após o lançamento, o projétil se encontra na posição de altura 25 m com relação ao solo.

II.     3 s após o lançamento, o projétil se encontra na posição de altura máxima.

III.   5 s após o lançamento, o projétil se encontra na posição de altura 25 m com relação ao solo.

Quais estão corretas?

a) Apenas I.    b) Apenas II.    c) Apenas III.    d) Apenas II e III.    e) I, II e III.

Resolução:

I. 

 h = ?

 h₀ = 0

 v₀ = 30 m/s

 t = 1 s

 a = – g = – 10 m/s²

      

       h = 0 + 30 – 5⋅1 = 30 – 5

       h = 25 m (Verdadeira)

II. 

                Na altura máxima v = 0:

                v₀ = 30 m/s

                 t = ?

                 a = – g = – 10 m/s²

                 v = v₀ + at

                 0 = 30 + (– 10)⋅t

                 0 = 30 – 10t

                 10t = 30

t = 30/10

t = 3 s (Verdadeira)

III.

    h = ?

    h₀ = 25 m

    v₀ = 30 m/s

    t = 3 s

    a = – g = – 10 m/s²

   

    h = 150 – 5⋅25 = 150 – 125

    h = 25 m (Verdadeira)

Resposta: Todas as sentenças são verdadeiras, portanto, a resposta é alternativa E.

Função exponencial

Uma função exponencial é uma função matemática da forma f(x) = a⋅b^x, onde:

• a é uma constante diferente de zero,
• b é a base (um número real positivo diferente de 1),
• x é o expoente (a variável independente).

Características Principais:

1. Crescimento Rápido: As funções exponenciais crescem (ou decrescem) muito mais rápido que as funções lineares ou polinomiais.
2. Domínio e Imagem:
• O domínio da função exponencial é todos os números reais ℝ.
• A imagem (ou contradomínio) é o conjunto dos números reais positivos (0, ∞) quando a base b é maior que 1, e (0, ∞) quando 0 < b < 1.
3. Assíntota Horizontal: A reta y = 0 (o eixo x) é uma assíntota horizontal para a função exponencial, indicando que a função se aproxima de zero mas nunca o toca.
4. Passagem pela Origem: Para f(x) = b^x, a função passa pelo ponto (0, 1), porque qualquer número positivo elevado a zero é 1.

Exemplo Prático:

Imagine uma população de bactérias que dobra de quantidade a cada hora. Se começamos com 1 bactéria, após 1 hora teremos 2 bactérias, após 2 horas teremos 4, após 3 horas teremos 8, e assim por diante. Este é um exemplo clássico de crescimento exponencial, que pode ser modelado pela função f(x) = 2^x.  

      

Exercícios

1 - Observe o expoente e verifique quais das sentenças dadas correspondem à lei de uma função exponencial.

Resolução: 

• Apenas a opção (c) não corresponde à lei de uma função exponencial, pois a variável não está no expoente.

2 - Numa certa cultura de bactérias o número delas y cresce segundo a lei y = 20 ⋅ 3^x na qual x representa o tempo em horas. Após quantas horas o número de bactérias será 1620?

Resolução:

y = 20 ⋅ 3^x

• Fazendo y = 1620:

1620 = 20 ⋅ 3^x

81 = 3^x

3⋅3⋅3⋅3 = 3^x

3⁴ = 3^x

x = 4 horas

3 - (CONED – 2016 – Sesc – PA) Qual a soma das raízes ou zeros da função exponencial abaixo?  

f(x) = 2^2x-3 – 3⋅2^x-1 + 4
a) 5          b) 4          c) 6          d) 8          e) – 6

Resolução:

• Para encontrar as raízes ou zeros da função, vamos fazer f(x) = 0:

2^{2x - 3} – 3⋅2^{x -1} + 4 = 0

• Multiplicando por 8 ambos os membros da equação:

• Simplificando a equação:

 2^2x – 12⋅2^x + 32 = 0

• Trocando a ordem dos expoentes:

(2^x)² – 12⋅2^x + 32 = 0

Fazendo y = 2^x:

y² – 12y + 32 = 0

• Usando a fórmula de Bhaskara:

a = 1,      b = – 12    e   c = 32

• Como y = 2^x:

y₁ = 8

8 = 2^x    ⇒   2³ = 2^x    ∴   x = 3

ou

y₂ = 4

4 = 2^x    ⇒   2² = 2^x    ∴   x = 2

• Logo, a soma das raízes é 3 + 2 = 5

• Resposta: Letra A 

4 – Considere a função 

de lei f(x) = 2^x + 1. Determine:

a)) f(1)

b) f(– 3)

c) x quando f(x) = 17

Resolução:

a) f(x) = 2^x + 1

f(1) = 2¹ + 1 = 2 + 1 = 3

b) f(x) = 2^x + 1

f(– 3) = 2^–3 + 1

c) f(x) = 17

 f(x) = 2^x + 1

2^x + 1 = 17     ⇒     2^x = 17 – 1  ⇒    2^x = 16

2^x  =2⋅2⋅2⋅2   ⇒   2^x  = 2⁴   ∴    x = 4

5 – Determinar a lei de formação da função f(x) da figura.

          

Resolução:

• A curva intercepta o eixo y em 2.

• Para x = 1, y = 4.

• Escolhendo dois pontos do gráfico, temos (0,2) e (1,4).

• Em (0,2) temos x = 0 e y = 2:

y = a⋅b^x

2 = a⋅b⁰

2 = a⋅1   ⇒    a = 2

• Em (1, 4) temos x = 1 e y = 4:

y = a⋅b^x

4 = a⋅b¹

4 = a⋅b   ⇒    4 = a⋅2   ⇒   a = 2

• Substituindo a = 2 e b = 2, temos:

f(x) = 2⋅2^x