quinta-feira, 1 de maio de 2025

Arranjo com repetição

O arranjo com repetição é um conceito fundamental na análise combinatória. Ele ocorre quando temos um conjunto de elementos e queremos formar sequências ordenadas, permitindo a repetição desses elementos.

Definição

Dado um conjunto com (n) elementos distintos e desejamos formar sequências de tamanho (k), permitindo que cada elemento seja escolhido mais de uma vez, o número total de possibilidades é dado pela fórmula:


Aplicação

Esse tipo de arranjo aparece em diversas situações práticas, como:

  • Senhas numéricas, onde os dígitos podem se repetir.
  • Placas de veículos com letras e números repetidos.
  • Códigos de segurança ou combinações de cadeados.

Exemplos

1 - Quantos números de dois algarismos podemos formar com os números 1, 2, 3 e 4?


Resposta: 16 números.

2 - Se tivermos um alfabeto de 26 letras e quisermos formar anagramas de 4 letras (permitindo repetição), o número de anagramas possíveis seria:

Resposta: 456 976 anagramas.

Exercícios

1 - Com os algarismos 8 e 9, podemos escrever quantos números de dois algarismos?

a) 2 números

b) 3 números

c) 4 números

d) 6 números

Resolução:

São eles: 89, 98, 88 e 99.

2 - Quantas senhas de 3 dígitos podem ser criadas usando os números de 0 a 9, permitindo repetições?

Solução:

Total de números (n): 10 (de 0 a 9).
Número de posições (k): 3.
Cálculo:





3 – Quantos anagramas de 4 letras podem ser formadas usando as letras A, B e C, permitindo repetições?

Solução:

Total de letras (n): 3.
Número de posições (k): 4.
Usando a fórmula:


4 - Quantas combinações diferentes podem ser feitas para pintar 2 paredes usando 4 cores diferentes, permitindo repetir cores?

Solução:

Total de cores (n): 4.
Número de paredes (k): 2.
Usando a fórmula:


5 - (Enem 2017) Uma empresa construirá sua página na internet e espera atrair um público de aproximadamente um milhão de clientes. Para acessar essa página, será necessária uma senha com formato a ser definido pela empresa. Existem cinco opções de formato oferecidas pelo programador, descritas no quadro, em que “L” e “D” representam, respectivamente, letra maiúscula e dígito.

    

As letras do alfabeto, entre as 26 possíveis, bem como os dígitos, entre os 10 possíveis, podem se repetir em qualquer das opções. A empresa quer escolher uma opção de formato cujo número de senhas distintas possíveis seja superior ao número esperado de clientes, mas que esse número não seja superior ao dobro do número esperado de clientes.

A opção que mais se adequa às condições da empresa é:

A) I            B) II            C) III             D) IV            E) V

Resolução:

Número de senhas para cada modelo de senha:

I ⇒ L⋅D5   ⇒ 26⋅10⋅10⋅10⋅10⋅10 = 26⋅105

                       = 2,6⋅101⋅105 = 2,6⋅106

II ⇒ D6   ⇒ 10⋅10⋅10⋅10⋅10⋅10 = 106

III ⇒ L2⋅D4   ⇒ 26⋅26⋅10⋅10⋅10⋅10 = 262⋅104

                           = 676⋅104 = 6,67⋅102⋅104

                                = 6,67⋅106

IV ⇒ D5   ⇒ 10⋅10⋅10⋅10⋅10 = 105

V ⇒ L3 ⋅D2   ⇒ 26⋅26⋅26⋅10⋅10 = 263⋅102

                           = 17 576⋅102

                                = 1,7576⋅104⋅102

                                = 1,7576⋅106

Comparando cada valor, o que se enquadra nas restrições feitas é a opção V.

Resposta: Letra E


6 – (FUVEST/2010) Maria deve criar uma senha de 4 dígitos para sua conta bancária. Nessa senha, somente os algarismos 1,2,3,4,5 podem ser usados e um mesmo algarismo pode aparecer mais de uma vez. Contudo, supersticiosa, Maria não quer que sua senha contenha o número 13, isto é, o algarismo 1 seguido imediatamente pelo algarismo 3. De quantas maneiras distintas Maria pode escolher sua senha?

a) 551

b) 552

c) 553

d) 554

e) 555

Resolução:

Total de senhas possíveis

Sem a restrição da Maria, cada dígito da senha pode ser um dos 5 números (1, 2, 3, 4, 5). Como a senha tem 4 dígitos, o total de possibilidades é:

Senhas com "13"

Vamos contar quantas senhas contém a sequência "13". Podemos ter "13XX", "X13X", e "XX13". Cada "X" pode ser um dos 5 números.

    • Para "13XX", temos 5 ⋅ 5 = 25 possibilidades.
    • Para "X13X", temos 5 ⋅ 5 = 25 possibilidades.
    • Para "XX13", temos 5 ⋅ 5 = 25 possibilidades.

No total: 25 + 25 + 25 = 75 possibilidades.

A senha "1313"

Contamos a senha "1313" três vezes (uma vez em cada uma das sequências "13XX", "X13X", e "XX13"). Porém, ela só deve ser contada uma vez. Portanto, temos 75 – 1 = 74 possibilidades de senhas com a sequência "13".

Senhas sem "13"

Para encontrar o número de senhas que Maria pode criar sem a sequência "13", subtraímos o número de senhas com "13" do total de senhas possíveis: 625 – 74 = 551.

Portanto, Maria pode criar 551 senhas distintas.


terça-feira, 29 de abril de 2025

Arranjo simples

Um arranjo é uma maneira de organizar parte de um conjunto de elementos em ordem. O que diferencia os arranjos das combinações é que, nos arranjos, a ordem dos elementos importa.

Fórmula do Arranjo

A fórmula para calcular o número de arranjos é:

Onde:

  • ( n ): número total de elementos no conjunto.
  • ( p ): número de elementos escolhidos para formar o arranjo.
  • ( ! ): fatorial, que é a multiplicação de todos os números inteiros positivos até o número especificado.

Exemplo Prático

Imagine que você tem três letras: A, B e C, e deseja formar arranjos de duas letras.

Aqui estão os possíveis arranjos:

  • AB
  • AC
  • BA
  • BC
  • CA
  • CB

Nesse caso:

  • ( n = 3 ) (total de letras: A, B, C),
  • ( p = 2 ) (escolher duas letras).

Usando a fórmula:


6 arranjos possíveis, como visto no exemplo acima.

Aplicações

Os arranjos têm inúmeras aplicações, como:

  • Planejamento de cronogramas.
  • Cálculo de probabilidades em jogos.
  • Organização de tarefas ou equipes.

Exercícios

1 - (ITA - SP) Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados empregando os caracteres 1, 3, 5, 6, 8 e 9?

a) 60     b) 120     c) 240     d) 40     e) 80

Resolução:

Usando a fórmula:


Resposta: Letra B

2 - De um grupo de 20 alunos, dois devem ser escolhidos para montar uma chapa e concorrer a eleição de presidente e vice presidente de um grêmio estudantil. Quantas chapas distintas podem formadas?

Resolução:

Usando a fórmula:

Resposta: 380 chapas distintas.

3 - Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, quantos números de 3 algarismos distintos podem ser formados?

Resolução:

Usando a fórmula:


Resposta: 60 números.

4 - (COPESE - UFT - 2018) Em um ônibus coletivo de Palmas, há 7 (sete) lugares vagos. De quantas maneiras diferentes podem 2 (duas) pessoas se sentar?

a) 5              b) 14              c) 42               d) 49

Resolução:

Usando a fórmula:


Resposta: Letra C.

5 - Quantos números com 3 algarismos diferentes podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

Resolução:

Usando a fórmula:

Resposta: 504 números.

6 - Um cadeado possui 3 rodelas numeradas de 0 a 9. Quantas combinações com 3 algarismos diferentes existem?

Resolução:


Resposta: 720 combinações diferentes.

7 - Em uma competição de programação, participam 10 programadores. A premiação é feita aos dois primeiros colocados. De quantas maneiras a premiação pode ocorrer?

Resolução:


Resposta: 90 maneiras.

8 - (UEL/2003) Sejam os conjuntos A = {1,2,3} e B = {0,1,2,3,4}. O total de funções injetoras de A para B é:

a) 60              b) 15             c) 60             d)120              e) 125

Resolução:

Em uma função injetora, cada elemento do conjunto A tem um único correspondente em B.
Para saber quantas funções injetora possui, vamos fazer um arranjo:

Usando a fórmula:



Resposta: Portanto, o total de funções injetoras de A para B é 60. 



9 - (CONSULTEC - 2010 - PM-BA) Após um assalto, várias testemunhas foram ouvidas, mas não houve consenso quanto à placa do automóvel usado pelo assaltante na sua fuga. Através das informações dessas testemunhas, concluiu-se que a placa do veículo era constituída de 3 vogais distintas e quatro algarismos também distintos, sendo que os dois últimos algarismos eram os dígitos 0 e 1.

Com base nesses dados, pode-se afirmar que o número de veículos a ser investigados é

a) 560     b) 1120     c) 3360     d) 6720     e) 8240

Resolução:

  • Existem 5 vogais no nosso alfabeto, então, trata-se de um arranjo de 5 elementos tomados de 3 em 3: A5,3
  • Escolhendo 2 números, diferentes de 0 e de 1, já que os algarismos também são distintos, ou seja, há 8 possibilidades, e vamos escolher de 2 em 2: A8,2

Pelo princípio multiplicativo vamos ter:



Resposta: São 3 360 o número de veículos a ser investigados.


segunda-feira, 28 de abril de 2025

Combinações

O estudo das combinações é outro pilar importante da combinatória, concentrando-se na seleção de elementos de um conjunto, sem considerar a ordem. Ao contrário dos arranjos, nas combinações a ordem não importa.

Fórmula da Combinação

A fórmula para calcular o número de combinações é:

Onde:
  • ( n ): número total de elementos no conjunto.
  • ( p ): número de elementos escolhidos.
  • ( ! ): fatorial, representando o produto de todos os números inteiros positivos até o número especificado.

Exemplo Prático

Imagine que você tem três frutas: maçã (M), banana (B) e laranja (L). Você deseja formar grupos de duas frutas, mas a ordem não importa.

Os grupos possíveis seriam:

  • MB
  • ML
  • BL

Nesse caso:

  • ( n = 3 ) (total de frutas: maçã, banana, laranja),
  • ( p = 2 ) (escolher duas frutas).

Usando a fórmula:

3 combinações possíveis, como verificamos acima.

Aplicações

As combinações são amplamente utilizadas em situações como:

  • Escolha de equipes ou grupos.
  • Cálculo de probabilidades em jogos de azar, como loterias.
  • Planejamento de eventos, como a formação de comitês.
Exercícios

1 - Treze competidores disputam um campeonato de xadrez em que cada competidor joga uma vez com todos os outros. Quantos jogos serão realizados nesse campeonato?



a) 26       b) 65       c) 78       d) 130       e) 169

Resolução:


Resposta: Letra C

2 - Com as pessoas A, B, C, D e E, quantas comissões de 3 membros podem ser formadas?

Resolução: 



Usando a fórmula:

Resposta: 10 comissões.

3 - Uma empresa necessita de uma equipe com 6 integrantes, sendo três homens e três mulheres. Ela dispõe de 9 funcionários, cinco homens e quatro mulheres. Assinale a alternativa que apresenta o número de maneiras diferentes que essa equipe pode ser formada.

a) 240           b) 80           c) 40           d) 60           e) 120

Resolução: 

Cinco homens: C5,3






Quatro mulheres: C4,3



Resposta: Letra C

4 - Para uma excursão ao museu, foram selecionados 8 meninos e 10 meninas. A coordenação da escola achou prudente formar uma comissão de liderança entre os estudantes selecionados, sendo que seriam escolhidos 2 meninos e 3 meninas. Quantas comissões podem ser formadas?

Resolução:
 
Dez meninas: C10,3

Oito meninos: C8,2

Total de combinações:

Resposta: Letra C 

5 - (Enem 2021) Uma pessoa produzirá uma fantasia utilizando como materiais: 2 tipos de tecidos diferentes e 5 tipos distintos de pedras ornamentais. Essa pessoa tem à sua disposição 6 tecidos diferentes e 15 pedras ornamentais distintas. A quantidade de fantasias com materiais diferentes que podem ser produzidas é representada pela expressão:


Resolução: 

Há duas combinações para serem calculadas:

1º Calcula o número de maneiras distintas que o tecido pode ser escolhido, uma combinação de 6 elementos tomados de 2 em 2: C6,2      

2º Calcula a combinação de 15 elementos tomados de 5 em 5: C15,5

Pelo princípio multiplicativo, temos que:

ou

Resposta: Letra A 

6 - (Enem 2019) Uma empresa confecciona e comercializa um brinquedo formado por uma locomotiva, pintada na cor preta, mais 12 vagões de iguais formato e tamanho, numerados de 1 a 12. Dos 12 vagões, 4 são pintados na cor vermelha, 3 na cor azul, 3 na cor verde e 2 na cor amarela. O trem é montado utilizando-se uma locomotiva e 12 vagões, ordenados crescentemente segundo suas numerações, conforme ilustrado na figura.

De acordo com as possíveis variações nas colorações dos vagões, a quantidade de trens que podem ser montados, expressa por meio de combinações, é dada por:

A) C12,4 × C12,3 × C12,3 × C12,2

B) C12,4 + C12,3 + C5,3 + C2,2

C) C12,4 × 2 × C8,3 × C8,3 × C5,2

D) C12,4 + C8,3 + C5,3 + C2,2

E) C12,4 × C8,3 × C5,3 × C2,2

Resolução:

Queremos 4 vagões vermelhos: C12,4

Após escolher os vagões vermelhos, queremos 3 vagões azuis: C8,3

Dos 5 restantes, escolheremos 3 para serem verdes C5,3

Por fim, os últimos 2 serão amarelos: C2,2

Pelo princípio multiplicativo, temos que:

C12,4 × C8,3 × C5,3 × C2,2

Resposta: Letra E