O arranjo com repetição é um conceito fundamental na análise combinatória. Ele ocorre quando temos um conjunto de elementos e queremos formar sequências ordenadas, permitindo a repetição desses elementos.
Definição
Dado um conjunto com (n) elementos distintos e desejamos
formar sequências de tamanho (k), permitindo que cada elemento seja escolhido
mais de uma vez, o número total de possibilidades é dado pela fórmula:
Esse tipo de arranjo aparece em diversas situações práticas,
como:
- Senhas
numéricas, onde os dígitos podem se repetir.
- Placas
de veículos com letras e números repetidos.
- Códigos
de segurança ou combinações de cadeados.
Exemplos
1 - Quantos números de dois algarismos podemos formar com os
números 1, 2, 3 e 4?
Resposta: 16 números.
2 - Se tivermos um alfabeto de 26 letras e quisermos formar anagramas
de 4 letras (permitindo repetição), o número de anagramas possíveis seria:
Resposta: 456 976 anagramas.
Exercícios
1 - Com os algarismos 8 e 9, podemos escrever quantos
números de dois algarismos?
a) 2 números
b) 3 números
c) 4 números
d) 6 números
2 - Quantas senhas de 3 dígitos podem ser
criadas usando os números de 0 a 9, permitindo repetições?
Solução:
Número de posições (k): 3.
Cálculo:
3 – Quantos anagramas de 4 letras podem
ser formadas usando as letras A, B e C, permitindo repetições?
Solução:
Número de posições (k): 4.
Usando a fórmula:
4 - Quantas combinações diferentes podem ser feitas para
pintar 2 paredes usando 4 cores diferentes, permitindo repetir cores?
Solução:
Número de paredes (k): 2.
Usando a fórmula:
5 - (Enem 2017) Uma empresa construirá
sua página na internet e espera atrair um público de aproximadamente um milhão
de clientes. Para acessar essa página, será necessária uma senha com formato a
ser definido pela empresa. Existem cinco opções de formato oferecidas pelo
programador, descritas no quadro, em que “L” e “D” representam,
respectivamente, letra maiúscula e dígito.
As letras do alfabeto, entre as 26 possíveis, bem como os dígitos, entre os 10 possíveis, podem se repetir em qualquer das opções. A empresa quer escolher uma opção de formato cujo número de senhas distintas possíveis seja superior ao número esperado de clientes, mas que esse número não seja superior ao dobro do número esperado de clientes.
A opção que mais se adequa às condições
da empresa é:
A) I B) II C) III
Resolução:
Número de senhas para cada modelo de senha:
I ⇒ L⋅D5 ⇒ 26⋅10⋅10⋅10⋅10⋅10 = 26⋅105
= 2,6⋅101⋅105 = 2,6⋅106
II ⇒ D6 ⇒ 10⋅10⋅10⋅10⋅10⋅10 = 106
III ⇒ L2⋅D4 ⇒ 26⋅26⋅10⋅10⋅10⋅10 = 262⋅104
= 676⋅104 = 6,67⋅102⋅104
= 6,67⋅106
IV ⇒ D5 ⇒ 10⋅10⋅10⋅10⋅10 = 105
V ⇒ L3 ⋅D2 ⇒ 26⋅26⋅26⋅10⋅10 = 263⋅102
= 17 576⋅102
= 1,7576⋅104⋅102
= 1,7576⋅106
Comparando cada valor, o que se enquadra nas restrições feitas é a opção V.
Resposta: Letra E
6 – (FUVEST/2010) Maria deve
criar uma senha de 4 dígitos para sua conta bancária. Nessa senha, somente os
algarismos 1,2,3,4,5 podem ser usados e um mesmo algarismo pode aparecer mais
de uma vez. Contudo, supersticiosa, Maria não quer que sua senha contenha o
número 13, isto é, o algarismo 1 seguido imediatamente pelo algarismo 3. De
quantas maneiras distintas Maria pode escolher sua senha?
a) 551
b) 552
c) 553
d) 554
e) 555
Resolução:
Total de senhas possíveis
Sem a restrição da Maria, cada dígito da senha pode ser um
dos 5 números (1, 2, 3, 4, 5). Como a senha tem 4 dígitos, o total de
possibilidades é:
Senhas com "13"
Vamos contar quantas senhas contém a sequência
"13". Podemos ter "13XX", "X13X", e
"XX13". Cada "X" pode ser um dos 5 números.
- Para
"13XX", temos 5 ⋅ 5
= 25 possibilidades.
- Para
"X13X", temos 5 ⋅ 5 = 25 possibilidades.
- Para
"XX13", temos 5 ⋅ 5 = 25 possibilidades.
No total: 25 + 25 + 25 = 75 possibilidades.
A senha "1313"
Contamos a senha "1313" três vezes (uma vez em
cada uma das sequências "13XX", "X13X", e
"XX13"). Porém, ela só deve ser contada uma vez. Portanto,
temos 75 – 1 = 74 possibilidades de senhas com a sequência "13".
Senhas sem "13"
Para encontrar o número de senhas que Maria pode criar sem a
sequência "13", subtraímos o número de senhas com "13" do
total de senhas possíveis: 625 – 74 = 551.
Portanto, Maria pode criar 551 senhas distintas.