Zeros da função quadrática

 O gráfico da função quadrática  definida por y = ax² + bx + c, no plano cartesiano, é uma parábola.


Os valores de x quanto a parábola corta o eixo x são chamados de zeros (ou raízes) da função quadrática. Para encontrarmos esses valores, basta fazer y = 0 e calcular os valores de x na equação do 2º grau:  

ax² + bx + c = 0

A quantidade de zeros da função quadrática depende do discriminante Δ (delta):

Δ > 0 → a função terá dois zeros  (ou raízes) reais diferentes;
Δ = 0 → a função terá dois zeros (ou raízes) reais iguais;
Δ < 0 → a função não terá zeros (ou raízes) reais.

Δ > 0 

 




Δ = 0













 

Δ < 0 

















Exercícios
1 - Determine os zeros das seguintes funções do 2º grau:
a) y = x² + 3x – 4     

Resolução:  
Fazendo y = 0, vamos ter a equação:
x² + 3x – 4 = 0               

a = 1,   b = 3   e   c = – 4. 

Calculando o valor de Δ:

Δ = b² – 4・a・c
Δ = 3² – 4.1.(– 4)
Δ = 9 + 16
Δ = 25

Como Δ > 0, a função terá dois zeros  (ou raízes) reais diferentes. 

Substituindo o valor de Δ por 25:


x = – 3 ± √25 
          2.1


x = – 3 ± 5
           2

Podemos ter dois resultados:
x = – 3 + 5 = 2 = 1
            2       2
e

x = – 3 – 5 – 8 = – 4
            2          2
Zeros: x = 1 e x = – 4.

b) y = 2x² – 8x

Resolução:

Fazendo y = 0, vamos ter a equação:
2x² – 8x = 0
a = 2,  b = – 8 e c = 0
Δ = b² – 4・a・c
Δ = (– 8)² – 4・2・0
Δ = 64 – 0
Δ = 64

Como Δ > 0, a função terá dois zeros  (ou raízes) reais diferentes. 





           
x = 8 ± 8
         4


x = 8 + 8 = 16  = 4
         4         4
e 
x = 8 – 8 =  0  = 0
          4         4
Zeros: x = 0 e x = 4.


c) y = x² – 3x + 15

Resolução:
Fazendo y = 0, vamos ter a equação:

x² – 3x + 15 = 0

a = 1, b = – 3 e c = 15. 

Δ = b² – 4.a.c
Δ = (– 3)² – 4・1・15
Δ= (– 3)・ (– 3)  60
Δ = 9 – 60
Δ = – 51

Como Δ < 0, a função não tem zeros (ou raízes) reais.


2 - Calcule, se existir, os zeros da função quadrática y = x² + 2x – 15:

Resolução:

Fazendo y = 0, vamos ter a equação:
x² + 2x – 15 = 0
a = 1, b = 2 e c = – 15




3 - Calcule, se existir, os zeros da função do 2º grau y =  x² + 10x + 25.

Resolução:
Fazendo y = 0, vamos ter a equação:

x² + 10x + 25 = 0

a = 1, b = 10 e c = 25





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