Valor máximo e valor mínimo de uma função quadrática

O estudo de valores máximo e mínimo em funções quadráticas é um dos pilares da análise matemática, especialmente útil em problemas de otimização, gráficos e modelagem de situações reais. As funções quadráticas têm a forma geral:

f(x) = ax² + bx + c

Características da função quadrática:

• O gráfico dessa função é uma parábola.
• Se ( a > 0 ), a parábola é voltada para cima e possui um mínimo.
• Se ( a < 0 ), a parábola é voltada para baixo e possui um máximo.
• O valor máximo ou mínimo ocorre no vértice da parábola.

a > 0

a < 0

Coordenadas do Vértice

As coordenadas do vértice de uma função quadrática, dada por f(x) = ax² + bx +c, podem ser encontradas através das seguintes fórmulas:

Sendo:

O valor y_v representa o valor mínimo ou máximo da função.

Exemplos:

1 - Dada a função f(x) = 2x² – 4x + 1, calcule seu valor máximo ou mínimo.

Resolução:

a = 2, b = – 4 e c = 1

Como a > 0 então a parábola tem mínimo.

Cálculo da abscissa do vértice:

Cálculo do valor mínimo: 

Resposta: O mínimo da função é y_{v =} – 1 e ocorre no ponto V(1, – 1).

 2 - Determine o vértice da função f(x) = – x² – 2x + 3 e diga se ele é ponto de máximo ou de mínimo.

Resolução:

a = – 1, b = – 2 e c = 3

Cálculo da abscissa do vértice:

Cálculo da ordenada do vértice:

△ = b² – 4⋅ a⋅ c   

△ = (– 2)² – 4 ⋅(– 1)⋅3 = (– 2)⋅(– 2) + 4⋅3

△ = 4 + 12 = 16

Resposta: Como a < 0 então a parábola tem máximo e o vértice ocorre no ponto V(– 1, 4).

Exercícios

1 – O lucro de uma fábrica na venda de determinado produto é dado pela função L(x) = – 5x² + 100x – 80, onde x representa o número de produtos vendidos e L(x) é o lucro em reais. Determine:

a) O lucro máximo obtido pela fábrica na venda desses produtos.
b) Quantos produtos precisam ser vendidos para obtenção do lucro máximo.

Resolução:

a) a = – 5, b = 100 e c = – 80

Como a < 0, a parábola terá um ponto máximo:

△ = b² – 4⋅ a⋅ c     

△ = 100² – 4⋅(– 5)⋅( – 80)

△ = 100⋅100 + 20⋅ (– 80)

△ = 10 000 – 1 600 = 8 400

Resposta: O lucro máximo da fábrica será de R$ 420,00.

b) O número de produtos a serem vendidos para obtenção do lucro máximo será dado pelo X_v: 

Resposta: A fábrica precisa vender 10 produtos para obter o lucro máximo desejado.

2 – (UA–AM, adaptado) Após várias experiências em laboratório, observou-se que a concentração de certo antibiótico no sangue de cobaias, varia de acordo com a função f(x) = 12x – 2x², em que x é o tempo decorrido, em horas, após a ingestão do antibiótico. Nessas condições, determine:

a) o valor máximo da concentração do antibiótico no sangue das cobaias.

b) O tempo necessário para que o antibiótico atinja nível máximo de concentração no sangue dessas cobaias. 

c) Uma nova dose do antibiótico deverá ser aplicada no sangue destas cobaias quando o nível de concentração seja nulo. Depois de quanto tempo essa nova dose será aplicada?

d) A concentração de antibiótico no sangue das cobaias, nas primeiras 6 horas de experiência, calculando de hora em hora.

e) Faça um esboço do gráfico da função que representa esta situação.

Resolução:

a) a = – 2,  b = 12   e   c = 0

Como a < 0, a parábola do gráfico de f(x) terá um ponto máximo:

△ = b² – 4⋅ a⋅ c    

△ = 12² – 4⋅ (– 2)⋅ 0

△ = 12⋅12 + 8⋅0

△ = 144 + 0 = 144

y_{v = 18}

Resposta: O valor máximo da concentração do antibiótico no sangue das cobaias é 18.

b)

Resposta: 3 horas

c) f(x) = 12x – 2x²

f(x) = 0

12x – 2x² = 0

Colocando 2x em evidência:

12x – 2x² = 0

2x⋅ (6 – x) = 0 ⇒ 6 – x = 0 ∴ x = 6

Resposta: Depois de 6 horas.

d) x = 0; y = 0

x = 1; y = 12⋅ (1) – 2⋅ (1)² = 10

x = 2; y = 12⋅ (2) – 2⋅ (2)² = 16

x = 3; y = 12⋅ (3) – 2⋅ (3)² = 18

x = 4; y = 12⋅ (4) – 2⋅ (4)² = 16

x = 5; y = 12⋅ (5) – 2⋅ (5)² = 10

x = 6; y = 12⋅ (6) – 2⋅ (6)² = 0

e) 

3 – Uma empresa fabrica chapéus e o lucro L, em milhares de reais, é dado pela função L(x) = – 2x² + 16x – 7, em que x é a quantidade de chapéus produzidos. Qual é o lucro máximo que essa empresa pode alcançar?

a) R$ 25,00

b) R$ 4,00

c) R$ 25 000,00

d) R$ 4 000,00

Resolução:                          

a = – 2, b = 16 e c = – 7

Como a < 0, a parábola de L(x) terá um ponto máximo:

△ = b² – 4⋅a⋅c     

△ = 16² – 4⋅(–2)⋅( – 7)

△ = 16 ⋅16 + 8⋅( – 7)

△ = 256 – 56 = 200

L(x) = y

Y_V = 25 mil = 25 000

Resposta: O lucro máximo da fábrica será de R$ 25 000,00.

4 – Uma função real f(x), dada por f(x) = – x² + 4x + 6, tem um valor:

a) mínimo, no valor de 2, para x = 1

b) máximo, no valor de 8, para x = – 1

c) mínimo, no valor de – 12, para x = – 2

d) máximo, no valor de 10, para x = 2

e) máximo, no valor de 8, para x = 2

Resolução:

a = – 1, b = 4 e c = 6

Como a < 0, a parábola de f(x) terá um ponto máximo:

△ = b² – 4⋅ a⋅c     

△ = 4² – 4⋅(–1)⋅6

△ = 4⋅4 + 4⋅6

△ = 16 + 24 = 40

f(x) = y

Y_V = 10

x_V = 2

Resposta: Letra D.

5 – Determine o valor de k de modo que o valor mínimo da função f(x) = (k – 1)x² + 6x – 2 seja – 5.

Resolução:

Condição: a > 0 e y_V = – 5.

a = k – 1,  b = 6   e   c = – 2

k – 1 > 0     ⇒     k >1

△ = b² – 4⋅a⋅c     

△ = 6² – 4⋅ (k – 1) ⋅ (– 2)

△ = 6⋅6 – 4(– 2k + 2)

△ = 36 + 8k – 8 = 8k + 28 

– 8k – 28 = – 5(4k – 4)

 – 8k – 28 = – 20k  + 20

20k – 8k = 20 + 28

12k = 48

k = 4 (Satisfaz a condição k > 1)

Logo, para que o valor mínimo de f(x) seja – 5, temos que ter k = 4.

6 – Determine m de modo que a função f(x) = – 4x² + (m +1)x + 2 tenha valor máximo para x = 2.

Resolução:

a = – 4,     b = m + 1     e     c = 2

x_V = 2

– m – 1 = – 16    – m = – 16 + 1 

– m = – 15   ⇒   m = 15 

 Logo, a função f(x)tem valor máximo para x = 2 quando m = 15.

Alavanca

As alavancas são máquinas simples que ajudam a multiplicar forças, permitindo levantar, mover ou equilibrar objetos com mais facilidade. Elas funcionam com base no princípio da alavanca, formulado por Arquimedes, que dizia:

"Dê-me uma alavanca e um ponto de apoio, e moverei o mundo."

Estrutura de Uma Alavanca

Uma alavanca possui três elementos principais:

• Ponto de apoio (fulcro): Onde a alavanca gira.
• Força motora (esforço): A força aplicada pelo usuário.
• Resistência (carga): O peso ou força que se deseja mover.

Tipos de Alavancas

Elas são classificadas de acordo com a posição relativa desses três elementos:

Tipo de Alavanca	Exemplo	Ordem dos elementos
1ª Classe	Tesoura, gangorra	Apoio entre força e carga
2ª Classe	Carrinho de mão	Carga entre apoio e força
3ª Classe	Pinça, braço humano	Força entre apoio e carga

Primeira Classe (Alavanca interfixa)

A alavanca interfixa é aquela em que o ponto de apoio se localiza entre a força potente e a força resistente, como demonstrado na imagem abaixo:

                  

Segunda Classe (Alavanca inter-resistente)

A alavanca inter-resistente é aquela em que a força resistente se localiza entre a força potente e o ponto de apoio, como demonstrado na imagem abaixo:

                 

Terceira Classe (Alavanca interpotente)

A alavanca interpotente é aquela em que a força potente se localiza entre a força resistente e o ponto de apoio, como demonstrado na imagem abaixo:

                  

Princípio Físico

O estudo das alavancas envolve o momento de força (torque):

M = F ⋅ d

Onde:

• ( M ) é o momento de força (torque),
• ( F ) é a força aplicada,
• ( d ) é a distância do ponto de apoio.

A condição de equilíbrio ocorre quando o somatório dos momentos em relação ao ponto de apoio é zero.

Fórmula da alavanca

F_p ∙ d_p = F_r ∙ d_r

• (F_p) força potente, medida em Newton [N].
• (d_p) distância da força potente, medida em metros [m].
• (F_r) força resistente, medida em Newton [N].
• (d_r) distância da força resistente, medida em metros [m].

Aplicações no Cotidiano

As alavancas estão em todo lugar:

• Ferramentas (abridor de garrafa, pé de cabra);
• Esportes (raquetes, tacos);
• Biomecânica (movimento dos membros humanos);
• Engenharia (mecanismos de içamento e alavancagem).

Exercícios

1 – (UFRGS) A barra da figura é um corpo rígido de peso desprezível, apoiada no ponto P.

    

Qual o módulo da força F que mantém a barra em equilíbrio mecânico na posição horizontal?

A) 10 N

B) 20 N

C) 30 N

D) 40 N

E) 60 N

Resolução:

 d = 60 cm

 d₁ = 30 cm

 F₁ = 20 N

 F =?

 F ⋅ d = F₁ ⋅ d₁

 F⋅ 60 = 20 ⋅ 30

 F⋅ 60 = 600

 F = 10 N

2 – (Encceja) A imagem representa uma balança utilizada para a medida da massa de uma fruta. A massa colocada no prato direito da balança é de 100 g e o sistema encontra-se em equilíbrio.

A massa dessa fruta, em grama, é:
A) 100
B) 120
C) 500
D) 600

Resolução:

d₁ = 10 cm

d₂ = 50 cm

m₁ = ?

m₂ = 100 g

F₁ = P₁ = m₁ ⋅ g

F₂ = P₂ = m₂ ⋅ g

Substituindo esses valores em:

 F₁ ⋅ d₁ = F₂ ⋅ d₂

 m₁ ⋅ g ⋅ d₁ = m₂ ⋅ g ⋅ d₂

 m₁ = 500 g

3 – (Enem) Em um experimento, um professor levou para a sala de aula um saco de arroz, um pedaço de madeira triangular e uma barra de ferro cilíndrica e homogênea. Ele propôs que fizessem a medição da massa da barra utilizando esses objetos. Para isso, os alunos fizeram marcações na barra, dividindo-a em oito partes iguais, e em seguida apoiaram-na sobre a base triangular, com o saco de arroz pendurado em uma de suas extremidades, até atingir a situação de equilíbrio.

Nessa situação, qual foi a massa da barra obtida pelos alunos?

A) 3,00 kg

B) 3,75 kg

C) 5,00 kg

D) 6,00 kg

E) 15,00 kg

Resolução:

O peso da barra está no seu centro de massa:

d_A = 3 unidades

d_B = 1 unidade

m_A = 5 kg

m_B =?

F_B ⋅ d_B = F_A ⋅ d_A

P_B ⋅ d_B = P_A ⋅ d_A

m_B ⋅ g ⋅ d_B = m_A ⋅ g ⋅ d_A

m_B ⋅ g ⋅ 1 = 5 ⋅ g ⋅ 3

m_B = 15 kg

4 – (UFRGS) Na figura, o segmento AB representa uma barra homogênea, de 1m de comprimento, que é mantida em equilíbrio mecânico na posição horizontal. A barra está apoiada num ponto a 25 cm da extremidade A, e o módulo da força F, aplicada na extremidade B, é 2 N. Qual é o peso da barra?

   

(A) 0,66 N      (B) 1 N      (C) 4 N      (D) 6 N      (E) 8 N

Resolução:

O peso da barra está no seu centro de massa:

   

d_P = 25 cm

d_B = 75 cm

F_B = F = 2 N

P =?

F_P = P

F_P⋅ d_P = F_B⋅ d_B

P⋅ d_P = F_B⋅ d_B

P⋅25 = 2⋅ 75

P = 6 N

5 – (ACAFE - Medicina 2016/2) Basicamente, uma alavanca é uma barra que pode girar em torno de um ponto de apoio, chamado de polo. Mesmo no nosso corpo existem muitas alavancas, já que existem muitas partes articuláveis.

Na figura a seguir vemos o exemplo de três tipos alavancas diferentes: no pé (1), no braço/antebraço (2) e na cabeça (3).

     

A alternativa correta que mostra na sequência (1), (2) e (3) a classificação conforme a posição do ponto de apoio em relação às forças aplicadas é:

A) interfixa; interpotente e inter-resistente.

B) inter-resistente; interfixa e interpotente.

C) interpotente; interfixa e inter-resistente.

D) inter-resistente; interpotente e interfixa.

Resolução:

No pé tem alavanca inter-resistente, já que a força resistente está entre a força potente e o ponto de apoio. No braço tem alavanca interpotente, já que a força potente está entre a força resistente e o ponto de apoio. Na cabeça tem alavanca interfixa, já que o ponto de apoio está entre a força potente e a força resistente.

Resposta: Letra D

6 – (Uece) Uma gangorra em um parquinho infantil é ocupada por dois gêmeos idênticos e de mesma massa, Cosmo e Damião. Na brincadeira, enquanto um dos irmãos sobe em um dos acentos do brinquedo, o outro desce no outro acento. O brinquedo pode ser descrito como uma haste rígida, com um acento em cada extremidade, e livre para girar em um plano vertical em torno do ponto central. Considere os torques na haste da gangorra exercidos pelas forças peso de Cosmo (τ_c) e de Damião (τ_d), em relação ao ponto central. Na configuração em que Cosmo está na posição mais alta, é correto afirmar que

a) |τ_c| < |τ_d|.

b) |τ_c| = |τ_d|.

c) |τ_c| > |τ_d|.

d) |τ_c| > –|τ_d|.

Resolução:

Como as crianças possuem mesma massa, o que lhes garante mesmo peso, e estão posicionadas na mesma distância em relação ao eixo de rotação da gangorra, os torques gerados pelos irmãos devem ser iguais.

Resposta: Letra B

 7 – (Udesc) Ao se fechar uma porta, aplica-se uma força na maçaneta para ela rotacionar em torno de um eixo fixo onde estão as dobradiças. Com relação ao movimento dessa porta, analise as proposições.

I. Quanto maior a distância perpendicular entre a maçaneta e as dobradiças, menos efetivo é o torque da força.

II. A unidade do torque da força no Sl é o N⋅m, podendo também ser medida em Joule (J).

III. O torque da força depende da distância perpendicular entre a maçaneta e as dobradiças.

IV. Qualquer que seja a direção da força, o seu torque será não nulo, consequentemente, a porta rotacionará sempre.

Assinale a alternativa correta:

a) Somente a afirmativa II é verdadeira.

b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.

c) Somente a afirmativa IV é verdadeira.

d) Somente a afirmativa III é verdadeira.

e) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.

Resolução:

I – Falsa. Quanto maior é a distância perpendicular entre a maçaneta e as dobradiças, mais efetivo é o torque da força.

II – Falsa. O torque não é uma quantidade de energia, por isso, não pode ser determinado em joule (J).

III – Correta.

IV – Falsa. Para a determinação do torque, são consideradas somente forças perpendiculares a um sistema de rotação.

Resposta: Letra D