Soma dos termos de uma PG infinita

Para uma PG infinita, a soma dos termos só é possível se a razão (q) estiver entre – 1 e 1 (ou seja, – 1 < q < 1). Isso porque, se a razão for maior ou igual a 1 ou menor ou igual a – 1, a soma dos termos diverge (vai para infinito).

A fórmula para a soma $S$ de uma PG infinita é:

Onde:

• a₁ é o primeiro termo da PG.

• q é a razão da PG.

Exemplos

1 – Calcular a soma da PG infinita:

Resolução:

2 - Considere a PG infinita: 1, 0.5, 0.25, 0.125, ... 

Aplicando a fórmula:

Exercícios

1 - Calcular a soma da PG infinita:

2 - Resolva a equação:

3 - Determinar a fração geratriz da dízima periódica 4,322...

4 – Determine a soma dos termos da PG infinita

5 – Determinar o valor de x na equação:

6 – Determinar a fração geratriz da dízima periódica 0,1212 ...

7 – Calcular a soma da PG infinita:

8 – Determinar a fração geratriz da dízima periódica 2,34444...

Respostas:

1) Resolução:

2) Resolução:

• Como S = 20:

S = 2x

3) Resolução:

4,322... = 4,3 + 0,02 + 0,002 + 0,0002 + ....

• A parte dessa soma: 0,02 + 0,002 + 0,0002 + .... é uma PG infinita.

Sendo:

• Substituindo esses valores na fórmula da soma:

• Substituindo o valor de “S”:

• Logo:

4) Resolução:

5) Resolução:

• Cálculo da razão q:

• Substituindo esses valores na fórmula:

• Como S = 20:

6) Resolução:

0,1212 ... = 0,12 + 0, 0012 + ...

• Calculo da razão q:

• Substituindo esses valores na fórmula:

• Logo:

7) Resolução:

Dados:

Substituindo esses valores na expressão: 

8) Resolução:

2,3444...= 2,3 + 0,04 + 0,004 + 0,0004 + ....

A parte dessa soma: 0,04 + 0,004 + 0,0004 + .... é uma PG infinita.

Dados:

Substituindo esses valores na expressão: 

Substituindo o valor de “S”:

Logo: