Exercícios com produtos notáveis

Produtos Notáveis são produtos de expressões algébricas que representam determinadas expressões que aparecem com muita frequência. São utilizados principalmente para a fatoração de polinômios e evitar erros com sinais.

Quadrado da soma de dois termos:

é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.

Quadrado da diferença de dois termos:

É igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.

Produto da soma pela diferença:

É igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.

Cubo da soma:

É igual ao cubo do primeiro termo, mais três vezes o primeiro termo elevado ao quadrado vezes o segundo termo, mais três vezes o primeiro termo vezes o segundo termo elevado ao quadrado, mais o segundo termo elevado ao cubo.

Cubo da diferença:

É igual ao cubo do primeiro termo, menos três vezes o primeiro termo elevado ao quadrado vezes o segundo termo, mais três vezes o primeiro termo vezes o segundo termo elevado ao quadrado, menos o segundo termo elevado ao cubo.

Exemplos

Desafio: Sem fazer cálculos, encontre o valor de  101² - 99²:

101² - 99² = (101+99)⋅(101- 99)

101² - 99² = 200⋅2

101² - 99² = 400

Exercícios:
1 - Desenvolva as expressões algébrica (x + 1)²:

Resolução:
(x + 1)² = x² + 2 ⋅ x ⋅ 1 + 1²

= x² + 2 x + 1⋅1

= x² + 2 x + 1

2 - Desenvolva as expressões algébrica (x – 1)²:

Resolução:
(x – 1)² = x² –  2 ⋅ x ⋅ 1 + 1²

= x² – 2x + 1⋅1

= x² - 2x + 1

3 - Desenvolva as expressões algébrica (x + 1) ⋅ (x – 1):

Resolução::
(x + 1) ⋅ (x – 1) = x² – 1²

= x² – 1⋅1

= x² – 1

4 - Desenvolvendo a expressão (y + 5)², vamos obter:

a. (    ) y² + 10y + 25

b. (    ) y² + 25

c. (    ) y² + 5y + 25

d. (    ) y² + 5y + 5

Resolução:
(y + 5)² = y² + 2 ⋅ y ⋅ 5 + 5² 

             = y² + 10 ⋅ y ⋅ 1 +  5 ⋅ 5

             = y² + 10y +  25 

5 - Desenvolva a expressão (2 + h)³.

Resolução:

(2 + h)³ = 2³ + 3⋅2²⋅h + 3⋅2⋅h² + h³

 = 8 + 12h + 6h² + h³

6 - (UFPE) Se x e y são números reais distintos, então:

 e) Nenhuma das alternativas anteriores é verdadeira.

Resolução:

Resposta letra (b).

7 - Qual das alternativas abaixo é o resultado da soma entre (x + a)³ e (x – a)³?

a) 2x³ + 6xa²

b) x³ – 3x²a + 3xa² – a³

c) x³ + 3x²a + 3xa² + a³

d) 2x³ + 3xa² – 2x³ – 3xa²

e) 4x³ + 6xa²

Resolução:

Somando:

Cancelando os termos simétricos:

Resultado da soma:

8 - Simplifique a expressão abaixo:

(2x + y)² + (2x – y)² + 2  (2x – y)  (2x + y)

Resolvendo separadamente:

(2x + y)² = (2x)² + 2 (2x) y + y² = 4x² + 4xy + y²

(2x – y)² =(2x)² – 2 (2x) y + y² = 4x² – 4xy + y²

(2x – y) (2x + y) =(2x)² – y² = 4x² – y²

Então:

(2x + y)² + (2x – y)² + 2  (2x – y)  (2x + y) =

= 4x² + 4xy + y² + 4x² – 4xy + y² + 2 (4x² – y²)

= 8x² + 2y² + 8x² – 2y²

= 16x²

9 – Usando o produto notável: (a + b) ∙ (a – b) = a² – b²

Calcule:

a) 31∙ 29                                       b) 91 ∙ 89

 Resolução:

a) 31∙ 29 = (30 + 1) ∙ (30 – 1) = 30² – 1² = 900 – 1 = 899

 b) 91 ∙ 89 = (90 + 1) ∙ (90 – 1) = 90² – 1² = 8100 – 1 = 8099