Conjuntos numéricos

Os conjuntos numéricos são fundamentais na matemática, pois organizam os números de acordo com suas características e propriedades. Eles ajudam a estruturar o pensamento matemático e servem como base para diversas áreas, como álgebra, geometria e cálculo.

Os principais conjuntos numéricos são:

Conjunto dos Números Naturais (ℕ) – Representa os números usados para contar objetos, começando pelo zero: {0, 1, 2, 3, ...}.

Conjunto dos Números Inteiros (ℤ) – Inclui os números naturais e seus opostos negativos: {..., – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, ...}.

Conjunto dos Números Racionais (ℚ) – Compreende todos os números que podem ser escritos como as frações, onde o numerador e o denominador são inteiros e o denominador é diferente de zero, como 3/5, 4/2, 7/9, etc. Os números inteiros, como 4, 7, – 1 etc.  Os números decimais finitos, como 14,9436.

Conjunto dos Números Irracionais – 1.     Abrange números que não podem ser expressos como fração simples. Esses números são decimais infinitos não – periódicos, isto é, a parte decimal não possui um período que se repete infinitamente.

Exemplos:

O número π (pi) e raiz quadrada de 2:

Conjunto dos Números Reais (ℝ) – Inclui todos os números que podem ser representados numa reta numérica. Isso abrange números racionais, como inteiros, frações e decimais, e números irracionais, como a raiz quadrada de 2 ou pi. Alguns exemplos de números reais são:

5

– 2,7

e

 π

Conjunto dos Números Complexos (ℂ) – Inclui todos os números reais e os números que contêm a unidade imaginária ( i ), onde ( i² = – 1 ), sendo essencial para muitas áreas da matemática e engenharia.

O conjunto dos números complexos surgiu para ampliar o conjunto dos números reais, já que neste as raízes de números negativos não existiam. Assim, foi criado um novo conjunto numérico denominado conjunto dos números complexos ou conjunto dos números imaginários.

Os números complexos são números escritos na forma z = x + yi (forma cartesiana ou retangular) e utilizados para resolver raízes de índices pares com números negativos dentro delas.

O x é a parte real do número imaginário e y é a parte imaginária:

x = Re(z) e y = Im(z)

Veja alguns exemplos:

• Z = 8 + 5i  ⇾  Re(Z) = 8 e Im(Z) = 5

• Z = –17 +2i   ⇾   Re(Z) = –17 e Im(Z) = 2

• Z = 5i   ⇾    Re(Z) = 0 e Im(Z) = 5

O “i” é chamado de unidade imaginária e tem propriedade:

i² = −1

Sabemos que:

i⁰ = 1
i¹ = i

E a partir da propriedade chegamos em:

i³ = i² x i¹ = −i
i⁴ = i² x i² = 1
i⁵ = i⁴ x i¹ = i