Média Aritmética Simples

A média aritmética é o resultado da divisão entre a soma de vários valores pela quantidade de valores somados.

Podemos calcular a média aritmética usando a expressão:

Exemplos:

1 - Qual é a média aritmética simples dos números 12, 8 e 13?
a) 9
b) 10,4
c) 11
d) 9,3

Resolução:

2 - Os jogadores de uma equipe de basquete apresentam as seguintes idades: 28, 29, 19, 23 e 21 anos. Qual a média de idade desta equipe?

Resolução:

   

Resposta: A média de idade desta equipe é de 24 anos.

3 - Em um grupo de seis amigos, foram computadas suas idades. Determine qual a idade média desse grupo.

Nomes	Idades (anos)
Paulo	12
Carlos	13
André	15
Roberto	17
José	19
Pedro	20

Resolução:

Resposta: A média de idade desse grupo é de 16 anos.

4 - João deseja calcular a média aritmética das notas que tirou em matemática. Calcule a média de suas notas em matemática.

Matemática
1ª prova	8,6
2ª prova	9,3
3ª prova	9,7
4ª prova	10,0

• a) 9,4
• b) 8,9
• c) 9,3
• d) 9,8

Resolução:

5 - (PUC-RIO) – As notas de uma turma de alunos no teste de matemática foram 10, 10, 9, 8, 8, 8, 7, 7, 4 e 2. Qual a média da turma?

a) 7,8

• b) 8,2
• c) 7,3
• d) 8,0

Resolução:

6 - O dólar é considerado uma moeda de troca internacional, por isso, o seu valor diário possui variações. Acompanhando a variação de preços do dólar em reais durante uma semana, foram verificadas estas variações:

Segunda feira	Terça feira	Quarta feira	Quinta feira	Sexta feira
R$ 5,20	R$ 5,40	R$ 5,30	R$ 5,50	R$ 5,80

Determine o valor médio do preço do dólar nessa semana.

a) R$ 5,66
b) R$ 5,44
c) R$ 5,34
d) R$ 5,52

Resolução:

7 - A média aritmética entre dois números é 50 e um dos números e 35 qual é o outro número?

Resolução:

Resposta: o outro número é 65.

8 - (AGENTE-ADM) A média aritmética das idades de 10 alunos de uma determinada turma é igual a 15 anos. Se dois alunos, um com 12 anos e o outro com 18 anos, saírem dessa turma, a media aritmética das idades dos 8 alunos restantes será igual a:

a) 13 anos

b) 14 anos

c) 15 anos

d) 16 anos

Resolução:

Média aritmética das idades de 10 alunos:

Média aritmética das idades de 8 alunos:

9 - Uma escola tem 18 professores. Um deles se aposenta e é substituído por um de 22 anos. Com isso, a média das idades dos professores diminui 2 anos. A idade em anos do professor que se aposentou é:

a) 52           b) 54           c) 56            d) 58

Resolução:

Média antes da aposentadoria:

Média depois da aposentadoria:

Comparando (1) e (2):

Luz

Posted: 27 Jun 2016 08:52 AM PDT O segmento da Física que estuda a luz é a óptica. A palavra óptica vem do grego optiké e significa relativa à visão. Na Antiguidade clássica, os filósofos gregos como Platão (428 ou 427 - 347 a.C.) e Aristóteles (384 - 322 a.C.) já perguntavam: o que é a luz? Por que vemos um objeto? Nessa época, por exemplo, acreditava-se que os olhos emitiam partículas que tornavam os objetos visíveis - hoje se sabe que só conseguimos enxergar objetos se a luz for refletida ou emitida por eles. Primeiro, a resposta: A luz é uma onda eletromagnética. Sendo um pouco mais técnico, podemos dizer que é um fenômeno ondulatório onde um campo magnético e um elétrico se alimentam e que se propaga no vácuo e em diversos meios (como aguá e ar). No vácuo, a velocidade de propagação é de quase 300 mil quilômetros por segundo! Abaixo segue uma esquematização de uma onda eletromagnética. Note que essa onda é considerada transversal, pois tanto a campo magnético quanto o elétrico têm oscilações perpendiculares à propagação. Entretanto, além do caráter ondulatório, temos aí um ingrediente a mais: a luz também apresenta partículas de massa zero, conhecidas atualmente como fótons. Tal característica foi defendida arduamente por ninguém mais que Isaac Newton no início do século XVIII e, posteriormente, comprovada (através do efeito fotoelétrico) por um cientista não menos importante, Albert Einstein. Essa dualidade da luz, que apresenta ao mesmo tempo de características ondulatórias e corpusculares (de partícula), além da dificuldade de medição de diversos fenômenos, fez com que cientistas de todo o mundo a estudassem literalmente “esquecendo” algumas de suas propriedades. Por exemplo: Óptica Geométrica: É o estudo da luz desprezando seu caráter ondulatório e corpuscular. Nessa área, são considerados apenas os fenômenos ópticos resultantes da propagação retilínea da luz, amplamente aplicada para a construção de lentes e espelhos. Eletromagnetismos: Aqui, é estudado todo o caráter ondulatório da luz, deixando de lado sua face corpuscular. Pensa que acabou? A luz também é fundamental em diversos ramos da física moderna, como na teoria da relatividade, de Einstein, e na mecânica quântica, que estuda as interações subatômicas. E caso ache que não seja importante estudar e conhecer essas diversas caraterísticas da Luz, clique aqui e veja um exemplo de questão do Enem que cobrava justamente o entendimento do seu caráter ondulatório. O post Física para o Enem: Afinal, o Que É a Luz? apareceu primeiro no infoEnem.

Força Elétrica - Lei de Coulomb

Posted: 25 Jul 2016 11:58 AM PDT Hoje vamos estudar uma das principais leis da física, a famosa Lei de Coulomb, que nos ensina a interação eletrostática entre moléculas com cargas elétricas. Sabemos, pelo Princípio das Ações Elétricas, que as cargas elétricas de sinais opostos se atraem e que as cargas elétricas de sinais iguais se repelem, ou seja, a lei mede a força de atração ou de repulsão entre duas cargas puntiformes (as dimensões dos corpos podem ser desprezadas, pois são muito menores se comparadas á distância entre eles). A partir disto é possível determinar a direção e o sentido das forças elétricas sob os corpos que possuem cargas. Coulomb enunciou a intensidade das forças elétricas afirmando que as mesmas são proporcionais a quantidade de carga dos corpos e inversamente proporcionais a distância entre os corpos carregados com cargas. Posteriormente, houve a descoberta de que a intensidade da força elétrica também dependia do meio físico entre os corpos, assim, para determinar a intensidade da força elétrica foi adicionada a constante eletrostática do meio (k). A partir dessas informações, temos a chamada Lei de Coulomb, que nos dá a intensidade da força elétrica a partir da seguinte equação: Na fórmula, Q e q as cargas dos corpos, r a distância entre os corpos e k a constante eletrostática do meio (k) . A unidade da força elétrica no sistema internacional é Newton (N). A constante eletrostática do meio (k) depende da permissividade elétrica do meio (ε ), ou seja, é a maneira como o campo elétrico interage com o meio físico em que os corpos se encontram. A relação entre a constante eletrostática do meio (k) e a permissividade elétrica do meio ( ε ) é descrita na seguinte equação: Quando estamos trabalhando com o vácuo utilizamos ε0 (permissividade elétrica no vácuo), nesse caso, ε0 vale 8,85 x 10-­12C2/N.m2, e portanto, utilizando a equação descrita anteriormente k0 vale 9 x 109 N.m2/C2. O post Física no Enem: Estudando a Força Elétrica ­(Lei de Coulomb) apareceu primeiro no infoEnem.

Juros Simples e Compostos

Juro é toda compensação em dinheiro que se paga, ou que recebe, pela quantia em dinheiro que se empresta, ou que se pede emprestado.  Atualmente, existe dois tipos de juros: simples e compostos. O sistema de juros simples costumava ser utilizado em aplicações de curto prazo, porém nos dias de hoje foi em grande parte substituído pelo sistema de juros compostos, que apresenta maior rentabilidade.

Juros Simples

Quando tratamos de um sistema de capitalização simples, os juros são calculados com base no valor total da aplicação. Assim o valor dos juros será o mesmo durante todo o período da aplicação. Neste sistema, utilizamos o seguinte cálculo para determinar o valor dos juros:

Onde,

J: juros
C: capital
i: taxa de juros. Para substituir na fórmula, a taxa deverá estar escrita na forma de número decimal. Para isso, basta dividir o valor dado por 100.
t: tempo. A taxa de juros e o tempo devem se referir à mesma unidade de tempo.

"É importante lembrar que o tempo de aplicação deve seguir a mesma grandeza da taxa envolvida, seja em meses, anos ou qualquer outro espaço de tempo"

Deste modo, o montante M pode ser obtido somando o valor do capital aplicado com os juros produzidos no período, ou seja:

M = c + J

Exemplos

1 - Quanto rendeu a quantia de R$ 1200,00, emprestado a juros simples, com a taxa de 2% ao mês, no final de 3 meses?

Resolução:

C = 1200

t = 3 meses

Assim, o rendimento no final do período será de R$ 72,00.

2 - Um capital de R$ 4000,00, foi aplicado durante 5 meses a juros simples com uma taxa de 4% ao mês. Qual foi juro produzido nesta aplicação?

Resolução:

C = 4000

3 - Quanto rendeu de juro a quantia de R$ 4 100,00, aplicado a juros simples, com a taxa de 3 % ao mês, no final de 5 meses?

a) R$ 615,00

b) R$ 516,00

c) R$ 165,00

d) R$ 561,00

Resolução:

C = 4100

t = meses

Assim, o rendimento no final do período será de R$ 615,00.

4 - Um capital de R$ 5 000,00, foi aplicado durante 10 meses a juros simples com uma taxa de 1% ao mês. Qual foi juro produzido nesta aplicação?

a) R$ 490,00

b) R$ 480,00

c) R$ 500,00

d) R$ 510,00

Resolução:

5 - Comprei uma bicicleta em 12 prestações. Sabendo que o valor à vista da bicicleta é R$ 1 200,00, e que a loja cobra uma taxa de 4% ao mês, quanto pagarei de juros?

a) R$ 57,60

b) R$ 576,00

c) R$ 676,00

d) R$ 67,60

Resolução:

6 - Quanto vou pagar no total pela bicicleta do exercício anterior?

a) R$ 1 776,00

b) R$ 1 550,00

c) R$ 1 670,00

d) R$ 1 250,00

Resolução:

M = ?

C = 1 200

e

j = 576

M = C + j

M = 1 200 + 576 = 1776

Resposta: Vou pagar no total pela bicicleta R$ 1 776,00.

Juros Compostos

Juros compostos é o chamado juros sobre juros. Para calcularmos os juros compostos, é conveniente calcularmos primeiro o montante. Eles são, na maioria das vezes, usados no sistema financeiro, pois oferecem maior rentabilidade se comparados ao juro simples.

M → Montante

C → Capital

i → Taxa

t → Tempo


O montante é a soma do capital inicial (C) e os juros(J):

Tendo o montante e o capital, calculamos os juros compostos.

Exemplos: 

1- A quantia de R$ 12 000,00 é emprestada a uma taxa de juros de 10% ao mês. Aplicando-se a juros compostos, o valor que deverá ser pago para a quitação da dívida, três meses depois, é:

a) R$ 13 500,00

b) R$ 16 330,00

c) R$ 12 440,00

d) R$ 15 972,00

 

Resposta:

M =?

C = 12 000

2- No exercício anterior, qual o valor do juro pago para a quitação da dívida?

a) R$ 3 972,00

b) R$ 3 340,00

c) R$ 3 540,00

d) R$ 3 722,00

Resposta:
J = ?
C = 12 000
M = 15 972


M = C + J
15 972 = 12 000 + J
15 972 - 12 000 = J
J = 3 972

3- Uma aplicação especial rende 1% ao mês em regime de juros compostos. Certa pessoa deseja aplicar a quantia de R$ 50 000,00 durante 3 meses. Determine o montante gerado por essa aplicação.

a) R$ 51 515, 05

b) R$ 55 300,50

c) R$ 52 040,00

d) R$ 51 980,10

Resposta:

M =?

C = 50 000

4- Considere o capital de R$ 10 000,00 aplicados na poupança durante 2 meses, num país em que a taxa de juros compostos de 3% ao mês. Calcule o montante deste capital no período especificado.

a) R$ 10 990,00

b) R$ 11 200,00

c) R$ 10 609,00

d) R$ 11 110,00

Resposta:

M =?

C = 10 000

5- Aplicando hoje na caderneta de poupança a quantia de R$ 2 000,00, qual será o montante gerado ao final de 2 meses, sabendo que a rentabilidade mensal é de 0,5%?

Lembrar que:

A resposta correta é:

a) R$ 2 020,05

b) R$ 2 200,15

c) R$ 2 120,50

d) R$ 2 090,00

Resposta:

M =?

C = 2 000

t = 2 meses

6 - Um capital de R$ 1 000,00 foi emprestados durante 11 meses à taxa de 8% ao mês.
a) Qual o montante acumulado no final de 11 meses?
b) Qual o valor dos juros produzidos nesses 11 meses?


Respostas:
a)


M = ?
C = 1 000
i = 8% = 8/100 = 0,08
t = 11 meses

b)
J = ?
M = C + J
2 331,64 = 1 000 + J
2 331,64 - 1 000 = J
J = R$ 331,64

7 - Paulo aplicou R$ 12 000,00 em uma instituição financeira por um período 8 meses à taxa de 3% ao mês.
a) Qual o montante acumulado que Paulo vai receber no final de 8 meses?

M = ?
C = 12 000
i = 3% = 3/100 = 0,03
t = 8 meses


b) Qual será o valor dos juros produzidos nesses 8 meses?

J = ?
M = C + J
15 201,24 = 12 000 + J
15 201,24 - 12 000 = J
J = R$ 3201,24

8 - O capital de R$ 4.500,00 aplicados por 180 dias a taxa de juros compostos de 4% ao mês irá gerar o montante de:

Resolução:

 

t = 180 dias = (180:30) meses = 6 meses

Quantidade de Movimento e Impulso

Posted: 01 Aug 2016 11:29 AM PDT

Mais uma vez, estamos aqui para facilitar seus estudos e ajudar você a garantir mais pontinhos nos vestibulares e conseguir a tão sonhada vaga na faculdade! O assunto desta matéria é a Quantidade de Movimento e Impulso, que faz parte do conteúdo programático de Física para o Enem.

Quantidade de Movimento

A quantidade de movimento é muito importante para o estudo de interação entre dois ou mais corpos quando há movimentação de pelo menos um deles. Imagine ser atingido por uma bola de futebol com velocidade X. Agora imagine sere atingido por um carro, na mesma velocidade X. Provavelmente existirá diferença entre os dois “impactos”, motivo pelo qual conseguimos afirmar que não é apenas a velocidade dos corpos que influencia na transferência de movimento, mas também a massa desses corpos.
A quantidade de movimento é uma grandeza vetorial, pois, ela é definida como o produto da massa do corpo (grandeza escalar) e a sua velocidade (grandeza vetorial), representada da seguinte forma:

Vale reforçar que a unidade para quantidade de movimento no sistema internacional é Kg.m/s.

Impulso

O impulso é a grandeza física vetorial que relaciona uma força aplicada por um intervalo de tempo. Sendo assim, ela é definida como o produto da força aplicada (grandeza vetorial) pelo tempo (grandeza escalar) em que essa força foi aplicada, sendo definida pela equação abaixo:

A unidade para o Impulso é N.s (Newton por segundo), que também pode ser escrita como Kg.m/s.
Para os casos onde a força aplicada não é constante, deve-se calcular a força média no intervalo de tempo (∆t) e utilizar a fórmula de impulso apresentada anteriormente.
O impulso também pode ser definido como a variação da quantidade de movimento. Note que as grandezas possuem até a mesma unidade: [Kg.m/s].

Dessa forma, podemos afirmar que o impulso da resultante de forças aplicadas em um intervalo de tempo é igual a variação da quantidade de movimento nesse mesmo período.

O post Estudando Quantidade de Movimento e Impulso – Física apareceu primeiro no infoEnem.

Equivalente em Água de Um Corpo

Posted: 09 Mar 2016 10:26 AM PST

No artigo de hoje, abordaremos novamente a termologia. Assim, é necessário que os conceitos de capacidade térmica e calor específico estejam totalmente entendidos (confira a diferença entre eles), caso contrário, é muito interessante relembrá-los! Utilizaremos estes conceitos para explorar o equivalente em água de uma substância.
Dado um corpo de massa e calor específico qualquer, forneceremos uma quantidade de calor (Q) a este corpo. Definimos o equivalente em água (E) deste corpo como a massa de água que, ao receber a mesma quantidade de calor, sofra a mesma variação de temperatura. Assim, utilizando a equação fundamental teremos que:

Q = m . c . ∆T

Q = m _corpo . c _corpo . ∆T  e  Q = m _água . c _água . ∆T

m _corpo . c _corpo . ∆T = E  _água . c _água . ∆T
m _corpo . c _corpo = E  _água . c_água

Como c _{água =} 1 cal/g .°C

m _corpo . c _corpo = E  _água . 1
m _corpo . c _corpo = E  _água

E  _água =  m _corpo . c _corpo 

Deste modo, podemos verificar algumas situações interessantes: Podemos observar que, no cálculo do equivalente em água, tanto a água quanto o outro corpo apresentarão a mesma capacidade térmica. Além disso, já sabemos que o calor específico da água é igual a 1 cal/g.°C, verificamos então que o equivalente em água é numericamente igual a capacidade térmica do corpo.
Devemos tomar algum cuidado nesta parte, pois cabe ressaltar novamente que o equivalente é numericamente igual a capacidade térmica. Observando com atenção, perceberemos que o equivalente em água representa uma massa, ou seja, encontraremos suas unidades em gramas, quilogramas, toneladas, enquanto a capacidade térmica será encontrada em cal/ °C ou ainda em J/K (Joule/Kelvin), portanto atenção com as unidades, pois é nesta parte que se encontram a maioria dos erros em exercícios simples.
Podemos determinar o equivalente em água para qualquer corpo, porém sua maior utilização ocorre em atividades práticas envolvendo calorímetros. O calorímetro é um instrumento utilizado para medir a quantidade de calor que, por não ser ideal, consome parte da energia fornecida. Após verificar a diferença entre a quantidade de energia fornecida ao calorímetro e a quantidade registrada pelo mesmo, utilizamos esta quantidade de calor para determinar o seu equivalente em água.
Assim, verificamos que a compreensão do conceito de equivalente em água não apresenta nenhuma definição nova, apenas remetendo a conceitos explicados anteriormente e os apresentando de maneira diferente, demonstrando que a total compreensão dos conceitos básicos irá refletir em uma maior facilidade para entender os mais complexos, pois de alguma maneira sempre utilizaremos os conceitos básicos em sua resolução.

O post Entenda o Equivalente em Água de Um Corpo apareceu primeiro no infoEnem.

Frações Equivalentes

Posted: 02 Sep 2016 08:38 AM PDT Um tema recorrente nas provas de Matemática do Enem, e um dos mais simples que estudamos até agora, são as frações equivalentes. Vamos agora entender a aplicação deste conceito. As frações equivalentes representam frações diferentes, que determinam a mesma quantidade. Se as frações forem equivalentes, elas irão apresentar a mesma fração ao serem reduzidas, ou seja, elas apresentam a mesma fração irredutível. Por exemplo, considerando a fração irredutível 1/2. Sabemos que esta fração equivalente à metade de um conteúdo, ou seja, 50% do mesmo. Veja no retângulo abaixo, que a parte colorida em azul representa a sua fração. Vamos ver abaixo agora, outras formas de representar a mesma quantidade com frações de um todo diferentes. Na figura acima, percebemos que podemos representar a metade do todo utilizando duas parcelas de 4 no total, implicando na fração 2/4. Neste último exemplo, observamos 4 parcelas coloridas de um total de 8, ou seja, temos 4/8 representados. Notamos então que, quanto maior a subdivisão das seções, maior será a sua fração, mas ela continuará representando um mesmo valor, e é nisso que devemos ficar atentos! Para ilustrar melhor este conceito, vamos utilizar uma questão adaptada do último Enem, em 2015. Em um jogo de cartas qualquer, cada participante recebe 9 cartas e uma é virada sobre a mesa. O participante então deve selecionar quais de suas cartas que possuem valor equivalente a carta da mesa, vencendo aquele de maior quantidade de equivalências. Para a mão e mesa ilustradas, qual é quantidade máxima de equivalências possível? a) 9 b) 7 c) 5 d) 4 e) 3 Compreendido o conceito das frações equivalentes, podemos perceber que a forma mais simples de resolver o problema é reduzindo a fração da carta da mesa. Assim: Realizada esta simplificação, é notável que possuímos três cartas equivalentes (75%, 0,75 e ¾). Assim, escolhemos a alternativa “e”. Embora seja um conceito demasiadamente simples, as frações equivalentes nem sempre são percebidas pelos estudantes, muitas vezes por nervosismo ou desatenção. Assim, fique atento! Esse método pode te trazer alguns segundos preciosos durante as provas! O post Matemática – Entendendo as Frações Equivalentes apareceu primeiro no infoEnem.