Equação do 2º grau

Uma equação que pode  ser escrita na forma reduzida  ax² + bx + c = 0 é chamada de equação do 2° grau.

Onde x é a incógnita, e as letras a, b e c são números reais chamadas de coeficientes, com a ≠ 0. 
Se os coeficientes "b" e "c" forem nulos (iguais a zero), a equação é incompleta. 

Se b = 0:  ax² + c = 0
Se c = 0:  ax² + bx = 0

As equações do 2° grau podem ter até duas soluções, que são chamados de raízes da equação. Para resolvermos equações do 2° grau, podemos usar a fórmula de Bhaskara.

                                   
O nome de Bhaskara relacionado a esta fórmula aparentemente só ocorre no Brasil. Não é encontrado esta referência na literatura internacional. A nomenclatura "fórmula de Bhaskara" não é adequada, pois problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam quase quatro mil anos antes, em textos escritos pelos babilônios, nas tábuas cuneiformes. Nesses textos o que se tinha era uma receita, escrita em prosa, sem uso de símbolos matemáticos, que ensinava como proceder para determinar as raízes em exemplos concretos, quase sempre ligados a relações geométricas. Outro matemático famoso por estudar resoluções de equações do 2° grau foi al-Khowarizmi, no século IX, foi o maior especialista no assunto. Ele viveu em Bagdá e é considerado um dos principais criadores da Álgebra. O interessante é que ele não usava fórmulas nem símbolos algébricos; trabalhava apenas com palavras e figuras.

Para deduzirmos a fórmula de Bhaskara, partimos da equação do 2° grau na forma reduzida:

                                                             ax² + bx + c = 0

Subtraindo o coeficiente(c) em ambos os membros da igualdade vamos ter:

                                                           ax² + bx + c – c= 0 – c

                                                                ax² + bx =  – c

Multiplicando ambos os lados da equação por 4a, teremos:

                                                         4a.(ax² + bx) = 4a.(– c)

                                                           4a²x² + 4abx = – 4ac

Vamos agora adicionar b² aos dois lados da igualdade:

                                                    4a²x² + 4abx + b² = – 4ac + b²

Observe que o primeiro membro da equação é um trinômio quadrado perfeito

                                                        (2ax + b)² = b² – 4ac

Considerando que o termo b² – 4ac é positivo, podemos extrair a raiz quadrada nos dois lados da equação:
                                                         2ax + b = 

Mas uma raiz quadrada pode ter dois resultados, um positivo e outro negativo. Sendo assim, a equação ficará como:

                                                       2ax + b =   ± 

Subtraindo b em cada membro da equação, vamos ter:

                                                       2ax + b = ±

Isolando o termo 2ax, teremos:

                                                       2ax = – b ±

Dividindo os lados da equação por 2a:

Vamos obter a fórmula de Bhaskara:


A letra grega Δ (delta) é usada para representar o discriminante da equação b² – 4ac. Então podemos escrever:

O número Δ pode assumir três diferentes possibilidades:

Δ > 0 → a equação terá duas raízes;

Δ = 0 → a equação terá uma raiz;

Δ < 0 → a equação não terá raízes reais.

Exercícios

1 - Resolva as seguintes equações do 2º grau, usando a fórmula de Bhaskara:

a) x² + 3x – 4 = 0     

Resolução:            

a = 1,   b = 3   e   c = – 4. 

Calculando o valor de Δ:

Δ = b² – 4・a・c

Δ = 3² – 4・1・(– 4)

Δ = 9 + 16

Δ = 25

Como Δ > 0, a equação terá duas raízes. Substituindo o valor de Δ por 25:

x = – 3 ± √25 

          2.1

x = – 3 ± 5

           2

Podemos ter dois resultados:

x = – 3 + 5 = 2 = 1

            2       2

e

x = – 3 – 5 = – 8 = – 4

            2          2

Soluções da equação: x = 1 e x = – 4.

b) 2x² – 8x = 0

Resolução:

a = 2,  b = – 8 e c = 0

Δ = b² – 4・a・c

Δ = (– 8)² – 4・2・0

Δ = 64 – 0

Δ = 64

Como Δ > 0, a equação terá duas raízes.

           

x = 8 ± 8

         4

x = 8 + 8 = 16  = 4

         4         4

e 
x = 8 – 8 =  0  = 0

          4         4

Soluções: x = 0 e x = 4.

c) x² – 3x + 15 = 0

a = 1, b = – 3 e c = 15. 

Δ = b² – 4.a.c

Δ = (– 3)² – 4・1・15
Δ= (– 3)・ (– 3) – 60

Δ = 9 – 60

Δ = – 51

Como Δ < 0, a equação não possui raízes reais.

Solução: ⲫ

2 - Resolva a equação de 2º grau x² + 2x – 15 = 0.

Resolução:

a = 1, b = 2 e c = – 15

3 - Resolva a equação de 2º grau x² + 10x + 25 = 0 .

Resolução:

a = 1, b = 10 e c = 25

4 - Resolva as equações de 2º grau:

a)     X² – 10x +9 = 0

b)     X² + x – 6 = 0

c)     X² +4x – 5 = 0

d)    X² – 10x + 24 = 0

e)    2X² – 9x + 4 = 0

f)      X² + 8x + 16 = 0

Resolução:

Solução: x = 1   e    x = 9

Solução: x = - 3 e x = 2

Solução: x = - 5 e x = 1

Solução: x = - 2 e x = 12

Solução: x = - 4