Princípio de Arquimedes

 O Princípio de Arquimedes é um dos conceitos fundamentais da hidrostática e descreve o comportamento de um corpo imerso em um fluido. Foi formulado pelo matemático e inventor grego Arquimedes de Siracusa no século III a.C.

Conceito Principal

O princípio afirma que todo corpo imerso em um fluido recebe uma força para cima igual ao peso do volume de fluido deslocado. Em termos simples, é o motivo pelo qual objetos flutuam ou afundam.

Expressão Matemática:

A força de empuxo E pode ser calculada por:

E = ρ ⋅ V ⋅ g

Onde:

• ( E ) é a força de empuxo;
• ( ρ) é a densidade do fluido;
• ( g ) é a aceleração da gravidade;

·  ( V ) é o volume de fluido deslocado.

Se a força de empuxo for maior que o peso do corpo, ele flutua. Se for menor, ele afunda.

Aplicações do Princípio de Arquimedes

Este princípio é essencial em diversas áreas, como:

• Flutuabilidade de barcos e submarinos (cálculo da densidade e volume para garantir que flutuem);
• Balões de ar quente (entendimento do deslocamento de ar e sua influência na elevação);
• Hidrometria (uso de densímetros para medir a densidade de líquidos);
• Medicina (avaliação da composição corporal por meio da pesagem hidrostática).

Exercícios

1 - Um bloco de madeira, com volume de 0,02 m³, flutua na água. Se a densidade da água é de 1000 kg/m³, qual é a força de empuxo que atua sobre o bloco?

Resolução:

E = ?

V = 0,02 m³

ρ = 1000 kg/m³

g = 10 m/s²

E = ρ ⋅ V ⋅ g

E = 1000 ⋅ 0,02 ⋅ 10

E = 200 N

2 - Uma pedra com massa de 2 kg e densidade de 2500 kg/m³ é totalmente imersa em água. Determine a força de empuxo e a força resultante que atua sobre a pedra.

Resolução:

m = 2 kg

ρ = 2 500 kg/m³ (pedra)

V = 0,000 8 m³

g = 10 m/s²

P = m⋅g   ⇒    P = 2⋅10    ∴    P = 20 N

A força de empuxo:

ρ = 1 000 kg/m³ (água)

E = ρ ⋅ V ⋅ g

E = 1 000 ⋅ 0,000 8 ⋅ 10

E = 8 N

A força resultante é a diferença entre o peso e o empuxo:

F_R = P – E  ⇒  F_R = 20 − 8  ∴   F_R = 12 N

3 - Um objeto com volume de 0,1 m³ está totalmente submerso em um líquido com densidade de 800 kg/m³. A força de empuxo que atua sobre o objeto é de 784 N. Determine a aceleração da gravidade no local.

Resolução:

g = ?

E = 784 N

V = 0,1 m³

ρ = 800 kg/m³

E = ρ ⋅ V ⋅ g   ⇒   784 = 800 ⋅ 0,1 ⋅ g

g = 9,8 m/s²

4 - (Unioeste 2° Etapa Tarde 2025) Um balão de hélio com volume de 5 m³ está flutuando no ar. Se a densidade do ar é de 1,2 kg/m³ e a densidade do hélio é de 0,18 kg/m³, determine a força de empuxo que atua sobre o balão e a massa do balão (despreze a massa do balão de borracha). 

a) O gás hélio dentro do balão pesa 9 N.

b) A força de empuxo que age sobre o balão é de 60 N.

c) O ar deslocado correspondente ao volume do balão pesa 60 N.

d) O somatório das forças verticais que agem sobre o balão é igual a zero.

e) O balão sobe porque a força de empuxo é maior que o peso total do balão (peso do gás + peso do material do balão).

Resolução:

V = 5 m³

ρ = 1,2 kg/m³  (ar)

ρ = 0,18 kg/m³ (hélio)

g = 10 m/s²

Empuxo do ar:

E = ρ ⋅ V ⋅ g   ⇒   E = 1,2 ⋅ 5 ⋅ 10

E = 60 N

Massa do hélio:

m = 5⋅ 0,18   ⇒   m = 0,9 kg

Peso do hélio:

P = m⋅g   ⇒   P = 0,9⋅10

P = 9 N

a) O gás hélio dentro do balão pesa 9 N. Esta afirmação é verdadeira.

b) A força de empuxo que age sobre o balão é de 60 N. Esta afirmação é verdadeira.

c) O ar deslocado correspondente ao volume do balão pesa 60 N. Esta afirmação é verdadeira, pois o peso do ar deslocado é a força de empuxo.

d) O somatório das forças verticais que agem sobre o balão é igual a zero. Esta afirmação é falsa, pois o balão sobe, indicando uma força resultante para cima.

e) O balão sobe porque a força de empuxo é maior que o peso total do balão (peso do gás + peso do material do balão). Esta afirmação é verdadeira, pois 60 N > 9 N (desprezando o peso do material).

 Resposta: Letra D.

5 - (UEM – PR) Um balão cheio de certo gás tem volume igual a 5,0 m³. A massa total do balão (incluindo o gás) é de 4,0 kg. Considerando a densidade do ar igual a 1,3 kg/m³ e g igual a 10,0 m/s², assinale o que for correto.

(01) O peso do balão é 40,0 N.
(02) Se o balão for abandonado, ele cairá, porque sua densidade é maior que a do ar.
(04) O empuxo que o balão recebe do ar é de 65,0 N.
(08) Para uma pessoa manter o balão em equilíbrio, ela deverá exercer sobre ele uma força igual e contrária ao empuxo que ele sofre do ar.
(16) Se esse balão fosse abandonado na Lua, ele não receberia empuxo, pois lá não existe atmosfera.

Resolução:

V = 5,0 m³

m = 4,0 kg

ρ = 1,3 kg/m³  (ar)

g = 10,0 m/s²

01) P = m⋅ g

P = 4⋅ 10 = 40 N (verdadeira)

02)

ρ = 0,8 kg/m³  (falsa) ele subirá, por ser menos denso que o ar.

04) O ar exerce empuxo sobre o balão, com direção vertical e sentido para cima. O empuxo é dado por:

E = ρ ⋅ V ⋅ g    ⇒   E = 1,3 ⋅ 5 ⋅ 10

E = 65 N  (verdadeira)

08) A força resultante deve ser para cima, pois o balão sobe. Nele existem duas forças: empuxo e peso. O balão sobe pois o empuxo é maior que o peso, e a resultante das forças será:

F_R = P – E  ⇒ F_R = 65 − 40   ∴  F_R =  25 N

Portanto, para segurar o balão deve haver uma força de 25 N para baixo. (falsa)

16) A fórmula do empuxo é:

E = ρ(fluido).g.V (deslocado).

Na Lua há apenas vácuo, o corpo não está envolto por nada, portanto ρ (fluido) = 0, E = 0, (verdadeira)

6 - (UERJ 2015) Uma barca está transportando automóveis entre as margens de um rio. Quando vazia, tem volume de 100 m³ e massa de 40 000 kg. A densidade da água é de 1 000 kg/m³. Qual o número máximo de automóveis com massa de 1 500 kg que a barca pode transportar? 

Resolução:

A massa máxima de água deslocada é igual ao produto da densidade da água pelo volume total da barca:

m_água = ρ_água⋅V_barca

m_água = 1 000⋅100

m_água = 100 000 kg

A massa máxima de carga é a diferença entre a massa máxima de água deslocada e a massa da barca vazia:

m_carga = m_água  − m_barca

m_carga= 100 000 kg – 40 000 kg = 60 000 kg

O número de automóveis (N) é a massa máxima de carga dividida pela massa de um automóvel:

Resposta: O número máximo de automóveis que a barca pode transportar é 40.

7 - (UFLA) O empuxo exercido sobre um corpo imerso em um líquido depende:

a) do volume do líquido deslocado e da densidade do corpo
b) da densidade e do volume do corpo
c) do volume e da densidade do líquido deslocado
d) somente do volume do líquido deslocado
e) somente da densidade do líquido deslocado

Resolução:

O empuxo exercido sobre um corpo imerso em um líquido depende: do volume e da densidade do líquido deslocado.

Resposta: Letra C 

Lei de Stevin

A Lei de Stevin é um princípio fundamental da hidrostática que descreve a variação da pressão em um fluido em equilíbrio sob a influência da gravidade. Ela estabelece que a pressão em um ponto dentro de um líquido depende da profundidade e da densidade do fluido, sendo expressa pela equação:

p = p₀ + ρ⋅g⋅Δh   ou   Δp = ρ⋅g⋅Δh

Onde:

• ( p ) é a pressão em um ponto dentro do líquido,
• ( P₀ ) é a pressão na superfície do líquido (geralmente a pressão atmosférica),
• ( ρ ) é a densidade do fluido,
• ( g ) é a aceleração da gravidade,
• ( Δh ) é a profundidade do ponto abaixo da superfície do líquido,
• (Δp) é a variação da pressão.

Conceitos Importantes:

1. Pressão Hidrostática: A pressão aumenta à medida que a profundidade aumenta, devido ao peso da coluna de fluido acima do ponto analisado.
2. Independência da Forma do Recipiente: A pressão em um determinado nível depende apenas da profundidade e da densidade do fluido, não da forma do recipiente.
3. Aplicações: Esse princípio é essencial para engenharia hidráulica, cálculo de forças em barragens, mergulho submarino e até meteorologia, onde é usado para entender variações de pressão atmosférica.

Lembrando que:

m = µ ∙ V (sendo m = massa, µ = massa específica e V = volume)

A massa específica (µ) e a densidade (ρ) são grandezas físicas bem similares, já que ambas tratam a respeito da razão entre a massa e o volume. Contudo, enquanto a massa específica é a razão entre a massa da substância e o seu volume, a densidade é a razão entre a massa de um corpo e o seu volume.

A unidade de medida de pressão no sistema internacional é o N/m² (newton por metro quadrado), porém existem outros tipos de unidade de pressão, como atm (atmosfera), mmHg (milímetro de mercúrio), bar (bares), e pascal (Pa).

A relação entre as unidades de medida de pressão:

1 atm = 1,01325·10⁵ N/m² = 1,01325·10⁵ Pa = 760 mmHg = 1,01325 bar

Exemplos

1 - Qual a pressão em um ponto a 2 metros de profundidade em um lago, considerando a densidade da água como 1000 kg/m³ e a aceleração da gravidade como 10 m/s²? 

Resolução:

Aplicando a lei de Stevin:

Δp = ?

Δh = 2 m

g = 10 m/s²

𝜌 = 1000 kg/m³

Δp = 𝜌⋅𝑔⋅Δℎ

Δp = 1000⋅10⋅2

Δp = 20 000 Pa   ou   Δp = 20 kPa

2 - Um recipiente de 1,5 m está totalmente cheio de um líquido cuja densidade vale 1 200 kg/m³, e, no fundo dele, está uma moeda. Qual é o valor da pressão total sobre a moeda? Utilize a gravidade valendo 10 m/s².

Resolução

p₀ = 1,0⋅10⁵ N/m²

𝜌 = 1 200 kg/m³

g = 10 m/s²

Δh = 1,5 m

p = ?

p = p₀ + ρ⋅g⋅Δh

p = 1,0⋅10⁵ + 1 200⋅10⋅1,5

p = 1,0⋅10⁵ + 18 000

p = 1,0⋅10⁵ + 0,18⋅10⁵ 

p = 1,18⋅10⁵ N/m²

Exercícios

1 - (UERJ) Para um mergulhador, cada 5 m de profundidade atingida corresponde a um acréscimo de 0,5 atm na pressão exercida sobre ele. Admita que esse mergulhador não consegue respirar quando sua caixa torácica está submetida a uma pressão acima de 1,02 atm.

Para respirar ar atmosférico por um tubo, a profundidade máxima, em cm, que pode ser atingida pela caixa torácica desse mergulhador é igual a:

a)   40.

b)   30.

c)   20.

d)   10.

e)   15.

Note e adote: ρ = 10³ kg/m³ e g = 10 m/s²

Resolução:

p₀  = 1 atm = 1×10⁵ N/m²

p = 1,02 atm = 1,02×10⁵ N/m²

ρ = 10³ kg/m³

g = 10 m/s²

p = p₀ + ρ⋅g⋅Δh

1,02×10⁵ = 1×10⁵   + 10³⋅10⋅Δh

1,02×10⁵ – 1×10⁵   = 10³⁺¹⋅Δh

0,02×10⁵ = 10⁴⋅Δh

Δh = 0,2 m = 0,2⋅100 cm = 20 cm

2 - (UERJ-RJ) Uma moeda é encontrada por um mergulhador no fundo plano de um lago, a 4 m de profundidade, com uma das faces, cuja área mede 12 cm², voltada para cima.

A força, em newtons, exercida sobre a face superior da moeda em repouso no fundo do lago equivale a:

a) 40

b) 48

c) 120

d) 168

e) 222

Resolução:

ρ = 10³ kg/m³

h = 4 m

g = 10 m/s²

1 m = 100 cm

10^{- 4} 

1 m² = (100 cm)² = 10 000 cm²

12 cm² = 12:10 000 m² = 0,0 012 m² = 12⋅10^{- 4} m²

p = ρ⋅g⋅h   ⇒   p = 10³⋅10⋅4 ⇒ p = 4⋅10⁴ N/m²

F = 4⋅10⁴⋅12⋅10^{- 4}    ⇒   F = 48⋅10^{4 + (- 4)}

F = 48⋅10^{4 - 4}   ⇒   F = 48⋅10⁰   ⇒   F = 48⋅1  

F = 48 N  

3 - (Unesp) A diferença de pressão máxima que o pulmão de um ser humano pode gerar por inspiração é em torno de 0,1⋅10⁵ 𝑃𝑎  ou 0,1 𝑎𝑡𝑚. Assim, mesmo com a ajuda de um snorkel (respiradouro), um mergulhador não pode ultrapassar uma profundidade máxima, já que a pressão sobre os pulmões aumenta à medida que ele mergulha mais fundo, impedindo-os de inflarem.

Considerando a densidade da água 10³ kg/m e a aceleração da gravidade 10 m/s², a profundidade máxima estimada, representada por h, que uma pessoa pode mergulhar respirando com a ajuda de um snorkel é igual a

A) 1,1 ‧ 10² m

B) 1,0 ‧ 10² m

C) 1,1 ‧ 10¹ m

D) 1,0 ‧ 10¹ m

E) 1,0 ‧ 10⁰ m

Resolução:

Δp = 0,1⋅10⁵ 𝑃𝑎

ρ = 10³ kg/m 

g = 10 m/s²

A diferença de pressão (Δp) pode ser dada pela lei de Stevin:

Δp = ρ⋅g⋅Δh ⇒ 0,1⋅10⁵ = 10³⋅10⋅Δh

0,1⋅10⁵ = 10³⋅10¹⋅Δh   ⇒ 0,1⋅10⁵ = 10⁴⋅Δh

Δh = 0,1⋅10^{5 –  4}   ⇒   Δh = 1,0⋅10^–1 ⋅10¹

Δh = 1,0⋅10^{–1 + 1}   ⇒   Δh = 1,0⋅10⁰ m

Resposta: Letra E

4 - (Uncisal) Em um laboratório, as substâncias são identificadas no rótulo pelo nome e por algumas propriedades químicas. No intuito de descobrir qual a substância armazenada num frasco no qual o rótulo foi retirado, um estudante aplicado de física propôs um experimento. Foram colocados num sistema constituído por vasos comunicantes o líquido desconhecido e álcool. Como são líquidos imiscíveis, é possível estimar a densidade do líquido medindo a altura das colunas líquidas a partir da superfície de separação desses líquidos. Esses valores são mostrados na figura a seguir. Consultando a tabela com os valores das densidades de alguns líquidos, disponível nesse laboratório, é provável que o líquido desconhecido seja:

a) a nitroglicerina.

b) o hexano.

c) o mercúrio.

d) a água.

e) o benzeno.

Resolução:

Aplicando a lei de Stevin para o caso dos vasos comunicantes, o produto das alturas das colunas de líquido, determinadas de um mesmo ponto, pela densidade dos líquidos deve ser igual. Assim, podemos escrever que:

p_A= p_L

ρ_A = 0,79 g/cm³

h₁ = 0,270 m

h₂ = 0,237 m

𝜌_L= ?

Igualando as pressões do mesmo nível:

ρ_A⋅g⋅h₁ = 𝜌_L⋅𝑔⋅ℎ₂

ρA⋅g⋅h1 =ρ_L⋅𝑔⋅ℎ2

ρ_L= 0,9 g/cm³

Logo, o líquido desconhecido é o benzeno.

Resposta: Letra E

5 - (UEL) Um tubo em U, longo, aberto nas extremidades, contém mercúrio, de densidade 13,6 g/cm³. Em um dos ramos, coloca-se água, de densidade 1,0 g/cm³, até ocupar uma altura de 32 cm. No outro ramo coloca-se óleo, de densidade 0,8 g/cm³, que ocupa altura de 6,0 cm. O desnível entre as superfícies livres nos dois ramos, em cm, é de

a) 38.

b) 28.

c) 24.

d) 20.

e) 15.

Resolução:

ρ_A = 1,0 g/cm³

ρ_O = 0,8 g/ cm³

ρ_M = 13,6 g/ cm³

h_A = 32 cm

h_O = 6, 0 cm

No nível N:

p_A = p₀ + p_{M (A pressão da água é igual à pressão do óleo mais a pressão do mercúrio)}

ρ_A ⋅g⋅h_A= ρ_O⋅g⋅ρ_O + ρ_M ⋅g⋅h_M

Simplificando (Cancelando g nos dois membros):

ρ_A ⋅h_A= ρ_O⋅ρ_O + ρ_M ⋅h_M

1⋅32= 0,8⋅6 + 13,6⋅h_M

32 = 4,8 + 13,6⋅h_M

32 – 4,8 = 13,6⋅h_M

27,2 = 13,6⋅h_M

h_M = 2 cm

Como:

△x +6 + h_M = 32

△x + 6 + 2 = 32

△x = 32 – 2 – 6

△x = 24 cm

Resposta: Letra C

6 - (UFF-RJ) O sifão é um instrumento usado para a retirada de água de lugares de difícil acesso.

Como mostra a figura a seguir, seu funcionamento se baseia no fato de que, quando o tubo que liga os recipientes A e B está cheio, há uma diferença de pressão hidrostática entre os pontos P e Q, o que provoca um fluxo de água de A para B. Essa diferença de pressão depende da seguinte característica do nosso planeta:

a) pressão atmosférica.

b) aceleração da gravidade local.

c) temperatura da superfície.

d) densidade da atmosfera.

e) velocidade de rotação do planeta.

Resolução:

Vamos analisar essa questão por meio da fórmula do teorema de Stevin:

Δp = ρ⋅g⋅Δh

A diferença de pressão hidrostática entre P e Q em um sifão, que leva à transferência de água, depende da aceleração da gravidade local. 

Resposta: Letra B.