Arranjo simples

Um arranjo é uma maneira de organizar parte de um conjunto de elementos em ordem. O que diferencia os arranjos das combinações é que, nos arranjos, a ordem dos elementos importa.

Fórmula do Arranjo

A fórmula para calcular o número de arranjos é:

Onde:

• ( n ): número total de elementos no conjunto.
• ( p ): número de elementos escolhidos para formar o arranjo.
• ( ! ): fatorial, que é a multiplicação de todos os números inteiros positivos até o número especificado.

Exemplo Prático

Imagine que você tem três letras: A, B e C, e deseja formar arranjos de duas letras.

Aqui estão os possíveis arranjos:

• AB
• AC
• BA
• BC
• CA
• CB

Nesse caso:

• ( n = 3 ) (total de letras: A, B, C),
• ( p = 2 ) (escolher duas letras).

Usando a fórmula:

Há 6 arranjos possíveis, como visto no exemplo acima.

Aplicações

Os arranjos têm inúmeras aplicações, como:

• Planejamento de cronogramas.
• Cálculo de probabilidades em jogos.
• Organização de tarefas ou equipes.

Exercícios

1 - (ITA - SP) Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados empregando os caracteres 1, 3, 5, 6, 8 e 9?

a) 60     b) 120     c) 240     d) 40     e) 80

Resolução:

Usando a fórmula:

Resposta: Letra B

2 - De um grupo de 20 alunos, dois devem ser escolhidos para montar uma chapa e concorrer a eleição de presidente e vice presidente de um grêmio estudantil. Quantas chapas distintas podem formadas?

Resolução:

Usando a fórmula:

Resposta: 380 chapas distintas.

3 - Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, quantos números de 3 algarismos distintos podem ser formados?

Resolução:

Usando a fórmula:

Resposta: 60 números.

4 - (COPESE - UFT - 2018) Em um ônibus coletivo de Palmas, há 7 (sete) lugares vagos. De quantas maneiras diferentes podem 2 (duas) pessoas se sentar?

a) 5              b) 14              c) 42               d) 49

Resolução:

Usando a fórmula:

Resposta: Letra C.

5 - Quantos números com 3 algarismos diferentes podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

Resolução:

Usando a fórmula:

Resposta: 504 números.

6 - Um cadeado possui 3 rodelas numeradas de 0 a 9. Quantas combinações com 3 algarismos diferentes existem?

Resolução:

Resposta: 720 combinações diferentes.

7 - Em uma competição de programação, participam 10 programadores. A premiação é feita aos dois primeiros colocados. De quantas maneiras a premiação pode ocorrer?

Resolução:

Resposta: 90 maneiras.

8 - (UEL/2003) Sejam os conjuntos A = {1,2,3} e B = {0,1,2,3,4}. O total de funções injetoras de A para B é:

a) 60              b) 15             c) 60             d)120              e) 125

Resolução:

Em uma função injetora, cada elemento do conjunto A tem um único correspondente em B.
Para saber quantas funções injetora possui, vamos fazer um arranjo:

Usando a fórmula:

Resposta: Portanto, o total de funções injetoras de A para B é 60. 

9 - (CONSULTEC - 2010 - PM-BA) Após um assalto, várias testemunhas foram ouvidas, mas não houve consenso quanto à placa do automóvel usado pelo assaltante na sua fuga. Através das informações dessas testemunhas, concluiu-se que a placa do veículo era constituída de 3 vogais distintas e quatro algarismos também distintos, sendo que os dois últimos algarismos eram os dígitos 0 e 1.

Com base nesses dados, pode-se afirmar que o número de veículos a ser investigados é

a) 560     b) 1120     c) 3360     d) 6720     e) 8240

Resolução:

• Existem 5 vogais no nosso alfabeto, então, trata-se de um arranjo de 5 elementos tomados de 3 em 3: A_5,3
• Escolhendo 2 números, diferentes de 0 e de 1, já que os algarismos também são distintos, ou seja, há 8 possibilidades, e vamos escolher de 2 em 2: A_8,2

Pelo princípio multiplicativo vamos ter:

Resposta: São 3 360 o número de veículos a ser investigados.

Combinações

O estudo das combinações é outro pilar importante da combinatória, concentrando-se na seleção de elementos de um conjunto, sem considerar a ordem. Ao contrário dos arranjos, nas combinações a ordem não importa.

Fórmula da Combinação

A fórmula para calcular o número de combinações é:

Onde:

• ( n ): número total de elementos no conjunto.
• ( p ): número de elementos escolhidos.
• ( ! ): fatorial, representando o produto de todos os números inteiros positivos até o número especificado.

Exemplo Prático

Imagine que você tem três frutas: maçã (M), banana (B) e laranja (L). Você deseja formar grupos de duas frutas, mas a ordem não importa.

Os grupos possíveis seriam:

• MB
• ML
• BL

Nesse caso:

• ( n = 3 ) (total de frutas: maçã, banana, laranja),
• ( p = 2 ) (escolher duas frutas).

Usando a fórmula:

Há 3 combinações possíveis, como verificamos acima.

Aplicações

As combinações são amplamente utilizadas em situações como:

• Escolha de equipes ou grupos.
• Cálculo de probabilidades em jogos de azar, como loterias.
• Planejamento de eventos, como a formação de comitês.

Exercícios

1 - Quantas duplas diferentes podem ser formadas com 10 pessoas?

a) 5          b) 10          c) 20          d) 45          e) 90

Resolução:

2 - Treze competidores disputam um campeonato de xadrez em que cada competidor joga uma vez com todos os outros. Quantos jogos serão realizados nesse campeonato?

a) 26       b) 65       c) 78       d) 130       e) 169

Resolução:

Resposta: Letra C

3 - Com as pessoas A, B, C, D e E, quantas comissões de 3 membros podem ser formadas?

Resolução: 

Usando a fórmula:

Resposta: 10 comissões.

4 - Uma empresa necessita de uma equipe com 6 integrantes, sendo três homens e três mulheres. Ela dispõe de 9 funcionários, cinco homens e quatro mulheres. Assinale a alternativa que apresenta o número de maneiras diferentes que essa equipe pode ser formada.

a) 240           b) 80           c) 40           d) 60           e) 120

Resolução: 

Cinco homens: C_5,3

Quatro mulheres: C_4,3

Resposta: Letra C

5 - Para uma excursão ao museu, foram selecionados 8 meninos e 10 meninas. A coordenação da escola achou prudente formar uma comissão de liderança entre os estudantes selecionados, sendo que seriam escolhidos 2 meninos e 3 meninas. Quantas comissões podem ser formadas?

Resolução: 
Dez meninas: C_10,3

Oito meninos: C_8,2

Total de combinações:

Resposta: Letra C 

6 - (Enem 2021) Uma pessoa produzirá uma fantasia utilizando como materiais: 2 tipos de tecidos diferentes e 5 tipos distintos de pedras ornamentais. Essa pessoa tem à sua disposição 6 tecidos diferentes e 15 pedras ornamentais distintas. A quantidade de fantasias com materiais diferentes que podem ser produzidas é representada pela expressão:

Resolução: 

Há duas combinações para serem calculadas:

1º Calcula o número de maneiras distintas que o tecido pode ser escolhido, uma combinação de 6 elementos tomados de 2 em 2: C_6,2      

2º Calcula a combinação de 15 elementos tomados de 5 em 5: C_15,5

Pelo princípio multiplicativo, temos que:

ou

Resposta: Letra A 

7 - (Enem 2019) Uma empresa confecciona e comercializa um brinquedo formado por uma locomotiva, pintada na cor preta, mais 12 vagões de iguais formato e tamanho, numerados de 1 a 12. Dos 12 vagões, 4 são pintados na cor vermelha, 3 na cor azul, 3 na cor verde e 2 na cor amarela. O trem é montado utilizando-se uma locomotiva e 12 vagões, ordenados crescentemente segundo suas numerações, conforme ilustrado na figura.

De acordo com as possíveis variações nas colorações dos vagões, a quantidade de trens que podem ser montados, expressa por meio de combinações, é dada por:

A) C_12,4 × C_12,3 × C_12,3 × C_12,2

B) C_12,4 + C_12,3 + C_5,3 + C_2,2

C) C_12,4 × 2 × C_8,3 × C_8,3 × C_5,2

D) C_12,4 + C_8,3 + C_5,3 + C_2,2

E) C_12,4 × C_8,3 × C_5,3 × C_2,2

Resolução:

Queremos 4 vagões vermelhos: C_12,4. 

Após escolher os vagões vermelhos, queremos 3 vagões azuis: C_8,3. 

Dos 5 restantes, escolheremos 3 para serem verdes C_5,3. 

Por fim, os últimos 2 serão amarelos: C_2,2. 

Pelo princípio multiplicativo, temos que:

C_12,4 × C_8,3 × C_5,3 × C_2,2

Resposta: Letra E